Uniwersytet im. A. Mickiewicza w Poznaniu
Rys. 1
Rys. 2
Ten i następny odcinek powstały na podstawie notatek mojej uczennicy, Aleksandry Żyniewicz, której bardzo dziękuję za ich udostępnienie. Głównym bohaterem jest punkt zwany pieszczotliwie Humptym.
Kilka oznaczeń czyniących życie przyjemniejszym. Okrąg o średnicy \(XY\) będziemy oznaczać \(\odot(XY),\) zaś przez \(\odot(XYZ)\) będziemy rozumieć okrąg opisany na trójkącie \(XYZ.\) W trójkącie \(ABC\) punkty \(G,\) \(O,\) \(H\) oznaczają, odpowiednio, środek ciężkości, środek okręgu opisanego i ortocentrum; ponadto przez \(A',\) \(B',\) \(C'\) będziemy oznaczać spodki wysokości poprowadzonych z odpowiednich wierzchołków, a przez \(A_1,\) \(B_1,\) \(C_1\) – środki boków naprzeciw tych wierzchołków.
W dalszych rozważaniach ograniczymy się do przypadku trójkąta ostrokątnego. W rozwartokątnym sytuacja wygląda podobnie, jeżeli dobrze rozumieć odpowiednie kąty.
Twierdzenie. Każda z poniższych definicji określa jednoznacznie ten sam punkt \(X\):
rzut prostokątny punktu \(H\) na prostą \(AA_1\);
różny od \(H\) punkt przecięcia \(\odot(AH)\) i \(\odot(BCH)\) (lub punkt \(H,\) gdy te okręgi są styczne);
punkt \(X\) spełniający równości \(|\angle BAX| = |\angle CBX|\) i \(|\angle CAX| = |\angle BCX|\);
punkt \(X,\) dla którego \(\odot(ABX)\) i \(\odot(ACX)\) są styczne do prostej \(BC.\)
Dowód. Niech \(P\) będzie punktem symetrycznym do \(A\) względem \(A_1.\) Czworokąt \(ABPC\) jest równoległobokiem, więc \(BP \bot BH\) oraz \(CP \bot CH,\) a zatem punkt \(P\) należy do \(\odot(BCH)\) oraz \(\odot(BCH)=\odot(PH)\) (rys. 1).
(1)\(\Rightarrow\)(2). Wystarczy zauważyć, że rzut punktu \(H\) na prostą \(AA_1\) jest drugim punktem wspólnym okręgów \(\odot(AH)\) i \(\odot(PH).\)
(2)\(\Rightarrow\)(3). Mamy \(|\angle BAX|=|\angle CHX|=|\angle CBX|\) – pierwsza równość wynika z własności kąta zewnętrznego \(H\) czworokąta \(AXHC'\) wpisanego w okrąg (ma taką samą miarę co przeciwległy kąt wewnętrzny); druga ze wspólnego łuku \(CX.\) Analogicznie dowodzimy równości \(|\angle XAC| = |\angle XCB|.\)
(3)\(\Rightarrow\)(1). Ponieważ \[\begin{aligned} |\angle CPB| & =|\angle BAC|=|\angle BAX|+|\angle XAC| \\&=|\angle CBX|+|\angle XCB|=180^\circ-|\angle BXC|, \end{aligned}\] widzimy, że \(X\in\odot(PH),\) zatem \(|\angle HXP|=90^\circ.\) Z równości \(|\angle XAC|=|\angle XCB|=|\angle XPB|\) wynika, że punkt \(X\) leży na prostej \(AP\) (czyli na \(AA_1\)). Stąd \(X\) jest rzutem prostokątnym punktu \(H\) na prostą \(AA_1.\)
(3)\(\iff\)(4) Równoważność wynika natychmiast z (obustronnego!) twierdzenia o stycznej i cięciwie (rys. 2).
Punkt \(X\) spełniający którąkolwiek (a zatem i wszystkie) spośród definicji (1)–(4) nazywamy punktem A-Humpty trójkąta \(ABC.\) Będziemy go oznaczać \(H_A,\) analogicznie definiujemy punkty \(H_B\) i \(H_C.\)
Zadania
-
Udowodnić, że w trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkty \(G,\) \(H,\) \(H_A,\) \(H_B,\) \(H_C\) leżą na jednym okręgu.
Wskazówka Jest to okrąg o średnicy \(HG.\)
-
Symediana poprowadzona z wierzchołka \(A\) trójkąta ostrokątnego \(ABC\) przecina \(\odot(ABC)\) w punkcie \(K\neq A.\) Punkt \(K'\) jest symetryczny do \(K\) względem prostej \(BC.\) Wykazać, że punkt \(K'\) leży na prostej \(AA_1\) (symediany to proste izogonalnie sprzężone do środkowych – zob. kącik nr 86 w \(\Delta_{26}^1\)).
Wskazówka Z pomocą (3) można wykazać, że \(K'=H_A.\)
-
Rozważmy trójkąt ostrokątny \(ABC.\) Niech \(B,\) \(C,\) \(R,\) \(S\) będą czterema różnymi punktami na prostej \(BC.\) Dowieść, że punkty \(A,\) \(H_A,\) \(R,\) \(S\) leżą na jednym okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odcinki \(BC\) i \(RS\) są sprzężone harmonicznie (zob. kącik nr 81 w \(\Delta_{25}^9\)).
Wskazówka Zgodnie z własnością (4) zachodzą równości: \(|A_1 B|^2=|A_1A|\cdot|A_1H_A|=|A_1R|\cdot|A_1S|\) (por. kącik nr 11 w \(\Delta_{19}^{11}\)). Pozostaje skorzystać z zadania 1(c) z przytoczonego w treści kącika nr 81 w \(\Delta_{25}^9\).
-
Dany jest trójkąt ostrokątny, różnoboczny \(ABC.\) Punkt \(K_A\) jest spodkiem dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku \(A,\) a punkt \(L_A\) – zewnętrznego. Okrąg opisany na trójkącie \(AK_AL_A\) przecina prostą \(AA_1\) w punkcie \(X_A\neq A.\) Punkty \(X_B\) i \(X_C\) są określone analogicznie. Wykazać, że środek \(\odot(X_AX_BX_C)\) leży na prostej Eulera trójkąta \(ABC\) (zob. kącik nr 22 w \(\Delta_{20}^{10}\)).
Wskazówka Odcinki \(BC\) i \(K_AL_A\) są harmonicznie sprzężone (dlaczego?) – można wykorzystać poprzednie zadanie.