Zadania z matematyki nr 923, 924
Termin nadsyłania rozwiązań: 31 VIII 2026
Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 M
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
909 (\(WT = 2{,}42\)) i 910 (\(WT = 1{,}63\))
z numeru 11/2025
Stanisław Bednarek Łódź 42,30 Roksana Słowik 41,56 Marian Łupieżowiec Gliwice 40,52 Mikołaj Pater 40,40 Krzysztof Kamiński Pabianice 40,19 Jędrzej Biedrzycki 35,81 Janusz Fiett Warszawa 32,71
Redaguje Marcin E. KUCZMA
923. Wyznaczyć wszystkie pary liczb naturalnych \(k,m\) takie, że \({k!(k!+6)=3m!}.\)
924. Niech \(n\) będzie ustaloną liczbą naturalną; \({n\ge2}.\) Funkcje \(f,\) \(g\) są określone wzorami: \({f(x)=x^n-x},\) \({g(x)=x^{2n}-x}.\) Liczby rzeczywiste \(a,\) \(b\) spełniają warunki: \({f(a)=1},\) \({g(b)=3a}.\) Ustalić (w zależności od \(n\)), która z liczb \(a,\) \(b\) jest większa.
Zadanie 924 zaproponował pan Paweł Kubit z Krakowa.
Rozwiązania zadań z numeru 2/2026
Przypominamy treść zadań:
915. Funkcja parzysta \({f\colon\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}},\) z wartością \({f(0)=0},\) ma w całym zbiorze \(\mathbb{R}\) ciągłą pochodną. (a) Udowodnić, że jeśli \(f\) ma w punkcie 0 pochodną drugiego rzędu (skończoną), to istnieją dwa przystające okręgi takie, że początek układu współrzędnych jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji \(f\) z każdym z tych okręgów. (b) Podać przykład pokazujący, że bez założenia istnienia \(f''(0)\) teza części (a) nie musi zachodzić.
916. Wzdłuż okręgu należy rozmieścić groszki w trzech różnych kolorach; mamy \(k\) groszków jednego koloru, \(l\) groszków drugiego, \(m\) groszków trzeciego koloru. Znaleźć warunek algebraiczny wiążący liczby \(k,l,m,\) konieczny i dostateczny na to, by istniało rozmieszczenie, w którym żadne dwa groszki jednakowego koloru nie sąsiadują.
915. Funkcja \(f\) jest parzysta, więc \({f'(0)=0}.\) Dwa okręgi, o jakich mowa w części (a) – jeżeli istnieją – muszą być (w początku układu współrzędnych) styczne do osi poziomej oraz do wykresu funkcji \(f,\) wciśniętego pomiędzy nie (jeden okrąg położony w górnej półpłaszczyźnie, drugi w dolnej). Jeżeli \(r\) jest promieniem każdego z nich, wówczas dolny półokrąg górnego okręgu ma równanie \[y=r-\sqrt{r^2-x^2}=\frac{x^2}{r+\sqrt{r^2-x^2}}\,.\] Symetryczny do niego górny półokrąg dolnego okręgu ma równanie różniące się od powyższego jedynie znakiem. Zadanie sprowadza się do pytania, czy istnieje liczba \({r>0}\) taka, że \[|f(x)|<\frac{x^2}{r+\sqrt{r^2-x^2}}\ \ \ \ \hbox{gdy}\ \ \ 0<|x|\le{r}. \tag{1}\] I teraz:
(a) Zakładamy, że istnieje \(f''(0)\); zatem \[\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{2x}=\frac12\,f''(0) \tag{2}\] (druga z powyższych równości to definicja \(f''\) jako pochodnej funkcji \(f'\); a pierwsza równość to reguła de l’Hospitala). Wybierzmy i ustalmy liczbę \({c>|f''(0)|}.\) Z uwagi na granicę (2) moduł ilorazu \({f(x)/{x^2}}\) jest mniejszy od \({c/2}\) dla \(x\) bliskich 0; czyli istnieje \({\delta>0}\) o własności \[|f(x)|<\frac{cx^2}2\ \ \ \ \hbox{gdy}\ \ \ 0<|x|\le\delta. \tag{3}\] Wystarczy teraz ustalić dowolną liczbę dodatnią \({r\le\min\{\delta, 1/{c}\}}.\) Gdy \({0<|x|\le{r}},\) oszacowanie (3) działa, zatem \[\frac{x^2}{r+\sqrt{r^2-x^2}}>\frac{x^2}{2r}\ge\frac{cx^2}2>|f(x)|\] – a to jest wymagany warunek (1), uzasadniający tezę części (a).
(b) Przykład: \({f(x)=|x|^{3/2}}.\) Ta funkcja parzysta ma ciągłą pochodną: \[f'(x)=\begin{cases} \frac32|x|^{1/2} & \text{dla $x>0$} \\ 0 & \text{dla $x=0$} \\ -\frac32|x|^{1/2} & \text{dla $x<0$} \end{cases}\] (wartość \({f'(0)=0}\) wyznaczona z definicji pochodnej). Niech \(r\) będzie dowolnie ustaloną liczbą dodatnią. Dla \({0<x<r^2}\) mamy \({f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x}}>\frac{x^2}r}\,,\) co zaprzecza spełnieniu warunku (1), i tym samym zaprzecza tezie części (a).
916. Układ nierówności \({k\le{l+m}},\) \({l\le{m+k}},\) \({m\le{k+l}}\) jest warunkiem koniecznym: jasne, że jeśli pewien kolor zajmuje więcej niż połowę pozycji, to pewne dwie pozycje w tym kolorze sąsiadują.
Ten sam układ nierówności jest też warunkiem dostatecznym: oznaczmy literami \(K,L,M\) kolory reprezentowane odpowiednio przez liczności \(k,l,m.\) Możemy b.s.o. założyć, że \({m\ge{k}},\) \({m\ge{l}}.\) Układamy „w kółko” \(m\) groszków \(M.\) Pracujemy w trybie insert; każde miejsce między dwoma kolejnymi groszkami \(M\) nazwijmy dołkiem (ang. socket). Wrzucamy \(k\) groszków \(K\) pojedynczo do różnych dołków. Zostaje \({m-k}\) (\({{}\le{l}}\)) dołków pustych. Wrzucamy do nich \({m-k}\) groszków \(L\); a pozostałe \({l+k-m}\) groszków \(L\) wrzucamy pojedynczo do dołków (dowolnie wybranych) zajętych przez groszki \(K.\) Wszystkie dołki są teraz zajęte przez co najmniej jeden groszek. W niektórych są po dwa groszki (różnych kolorów); nadajemy każdej takiej parze dowolną orientację, aby uzyskać pożądaną konfigurację cykliczną; gotowe.
Zadania z fizyki nr 820, 821
Termin nadsyłania rozwiązań: 31 VIII 2026
Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA
820. Punktowe źródło światła monochromatycznego, \(S,\) o długości fali \({\lambda=6000}\)Å umieszczono między dwoma nieruchomymi równoległymi zwierciadłami płaskimi, odległymi od siebie o \(b=3\) cm (rys. 1). W dużej odległości \(l=1\) m od źródła umieszczono ekran \(E_{1},\) na którym powstaje obraz interferencyjny, utworzony przez dwie wiązki światła odbite od zwierciadeł. Bezpośredni strumień światła od źródła zasłonięty jest ekranem \(E_{2}.\) W płaszczyźnie ekranu \(E_{1}\) na osi symetrii układu \(AA'\) umieszczony jest odbiornik \(O,\) który rejestruje sygnał proporcjonalny do natężenia padającego na niego światła. Rozmiar odbiornika jest mały w porównaniu z szerokością pasm interferencyjnych na ekranie \(E_{1}.\) Uwzględniając tylko jednokrotne odbicia światła od zwierciadeł, znaleźć częstotliwość zmiennego sygnału rejestrowanego przez odbiornik podczas ruchu źródła w kierunku prostopadłym do zwierciadeł z prędkością \(v=0,\)1 mm/s.
821. Okrągłą płytkę o średnicy \(d=40\) mm i grubości \(a=0,\)5 mm położono ostrożnie na powierzchni wody. Dzięki napięciu powierzchniowemu płytka nie utonęła, a w miejscu zetknięcia jej górnej powierzchni z powierzchnią wody kąt między nimi okazał się równy 90\(^{\circ}\) (rys. 2). Wyznaczyć gęstość materiału płytki. Współczynnik napięcia powierzchniowego wody \(\sigma=0,\)073 N/m.
Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 F
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
806 (\(WT=2{,}01\)), 807 (\(WT=3{,}1\)) z numeru 11/2025
Jacek Konieczny Poznań 41,41 Paweł Perkowski Ożarów Maz. 6–40,44 Andrzej Nowogrodzki Chocianów 3–36,28 Krzysztof Zygan Lubin 34,85 Ryszard Woźniak Kraków 34,50 Tomasz Wietecha Tarnów 18–29,41 Paweł Kubit Kraków 21,82 Marian Łupieżowiec Gliwice 3–21,66 Zbigniew Galias Kraków 1–16,30
Rys. 1
Rys. 2
Rys. 3a)b)Rys. 4
Rys. 5
Rozwiązania zadań z numeru 2/2026
Przypominamy treść zadań:
812. Na drewnianą pochylnię tworzącą kąt \(\alpha\) z poziomem wciągana jest za pomocą sznurka skrzynia. Współczynnik tarcia skrzyni o pochylnię wynosi \(\mu\). Pod jakim kątem do poziomu należy skierować sznurek, aby z najmniejszym wysiłkiem wciągać skrzynię z zadanym przyspieszeniem \(a\)?
813. Dwie cząstki o masach \(m\) i \(M\) oraz ładunkach o jednakowych wartościach bezwzględnych, ale przeciwnych znakach, poruszają się po okręgach pod wpływem przyciągania elektrycznego. Wartość prędkości cząstki o masie \(m\) momentalnie zwiększono, nie zmieniając przy tym kierunku prędkości. Ile razy co najmniej wzrosła ta wartość, jeżeli w wyniku tego cząstki rozleciały się na nieskończoną odległość od siebie?
812. Na skrzynię działają siły: ciężkości \(m\mathbf{g}\), tarcia \(\mathbf{T}\), reakcji podłoża \(\mathbf{N}\) i naciągu sznurka \(\mathbf{F}\) (rys. 3). Wypadkowa \(\mathbf{Q}\) sił reakcji i tarcia tworzy z prostopadłą do pochylni kąt \(\delta\) taki, że \(\operatorname{tg}\delta = T/N = \mu N/N = \mu.\) Oznacza to, że przy zmianie wartości i kierunku siły \(\mathbf{F}\), kierunek siły \(\mathbf{Q}\) pozostaje niezmieniony. Rysunek 4 ilustruje równanie ruchu skrzyni: \(m\mathbf{a =}m\mathbf{g} + \mathbf{Q} + \mathbf{F}.\) Siła \(\mathbf{F}\) ma minimalną wartość przy zadanym \(a\), gdy jest prostopadła do kierunku \(\mathbf{Q}\). Z rysunku 4a widać, że kąt nachylenia do poziomu siły \(\mathbf{F}_{\min}\) wynosi \[\tag{1} \beta = \alpha + \delta = \alpha + \operatorname{arctg}\mu.\label{eq3}\] Wartość minimalnej siły naciągu sznurka rośnie ze wzrostem przyspieszenia \(a\) i przy pewnej jego wartości \(a_{0}\) składowa siły \(\mathbf{F}_{\min}\) prostopadła do pochylni będzie miała taką samą wartość jak analogiczna składowa siły ciężkości. Siły reakcji i tarcia, a tym samym ich wypadkowa \(\mathbf{Q}\mathbf{,}\) staną się przy tym równe zeru. Równanie ruchu dla \(a \geq a_{0}\), \(m\mathbf{a} = m\mathbf{g} + \mathbf{F}_{\mathbf{\min}}\mathbf{=}0,\) ilustruje rysunek 4b. Widać z niego, że \[\tag{2} \beta = \alpha + \operatorname{arctg}\left(g\cos\alpha/(a + g\sin\alpha)\right).\label{eq5}\] Dla \(a = a_{0}\) wyrażenia na \(\beta\) z (1) i (2) są sobie równe, stąd \(a_{0} = g\left( \cos\alpha/\mu - \sin\alpha \right).\) Ostatecznie \[\beta =\begin{cases} \alpha + \operatorname{arctg}\mu & \text{dla \(0 \leq a \leq a_{0}\),} \\ \alpha + \operatorname{arctg}\left( g\cos\alpha/(a + g\sin\alpha) \right) & \text{dla \(a > a_{0}\).} \end{cases}\]
813. Oznaczmy początkową odległość między cząstkami przez \(r,\) a wartość bezwzględną ich ładunku przez \(q\). Cząstki obiegają środek masy układu po okręgach (rys. 5) o promieniach \({r_{m} = Mr/(m + M)}\) i \({r_{M} = mr/(m + M)}\) z prędkościami \(v_{m}\) i \(v_{M}\ \)takimi, że \(mv_{m} = Mv_{M}.\) Z drugiej zasady dynamiki \({kq^{2}/r^{2} = m{v_{m}}^{2}/r_{m} = m(m + M){v_{m}}^{2}/(Mr),}\) stąd \[\tag{3} kq^{2}/r = m(m + M){v_{m}}^{2}/M.\label{eeq3}\]
Załóżmy, że prędkość cząstki o masie \(m\) wzrosła \(n\) razy. Mamy układ dwóch cząstek o przeciwnych zwrotach prędkości, w chwili początkowej odległych od siebie o \(r\). Badanie ich ruchu możemy zastąpić badaniem ruchu jednej cząstki o masie zredukowanej \(\mu = mM/(m + M)\) i prędkości początkowej równej prędkości względnej cząstek \(m\) i \(M\): \[\tag{4} v = nv_{m} + v_{M} = v_{m}\left( n + m/M \right).\label{eeq4}\] Najmniejsza wartość tej prędkości, która pozwala oddalić się do nieskończoności, wynika z zasady zachowania energii: \[\tag{5} \mu v^{2}/2 - kq^{2}/r = 0.\label{eeq5}\] Korzystając z równań (3)–(5), otrzymujemy równanie na \(n\): \(n + m/M = \pm \sqrt{2}(m + M)/M.\) Rozwiązanie pierwsze odpowiada sytuacji, gdy prędkość cząstki \(m\) ma zwrot zgodny z prędkością \(v_{m}\), drugie, gdy ma zwrot przeciwny. Ostatecznie: \[n = \left( m/M \right)\left\lbrack \sqrt{2}\left( 1 + M/m \right) - 1 \right\rbrack.\]