Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 M
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
911 (\(WT = 2{,}38\)) i 912 (\(WT = 1{,}47\))
z numeru 12/2025
Stanisław Bednarek Łódź 46,15 Mikołaj Pater 44,25 Roksana Słowik 41,56 Marian Łupieżowiec Gliwice 40,52 Krzysztof Kamiński Pabianice 40,19 Jędrzej Biedrzycki 38,19 Janusz Fiett Warszawa 34,18 Janusz Olszewski Warszawa 33,09 Łukasz Merta 31,54 Piotr Kumor Olsztyn 30,85 Tomasz Wietecha Tarnów 30,73 I znów dwaj Weterani: pan Stanisław Bednarek po raz czwarty, a pan Mikołaj Pater już po raz piąty przekraczają magiczną linię 44p.
Redaguje Marcin E. KUCZMA
Rozwiązania zadań z numeru 3/2026
Przypominamy treść zadań:
917. Znaleźć największą liczbę \(c\) mającą tę własność, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) oraz dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) spełniona jest nierówność \({|x^n-1|\ge{c}|x-1|}.\)
918. W trójkącie \(ABC\) punkty \(D,E,F\) są spodkami wysokości \(AD,\) \(BE,\) \(CF.\) Proste \(DE\) i \(CF\) przecinają się w punkcie \(G.\) Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie \(ABG\) przechodzi przez środek odcinka \(DE.\)
917. Dla \({x=1}\) zadany warunek jest bezprzedmiotowy (spełniony dla każdej pary \(n,c\)). Dalej rozważamy \({x\ne1}.\) Dla \({x\notin(-1,0)}\) mamy łatwe szacowanie: \[|x^n{-}1|-|x{-}1|= \begin{cases} (x^n{-}1)-(x{-}1)\ge0\ & \text{gdy ${x\in(1,\infty)}$;} \\ (1{-}x^n)-(1{-}x)\ge0\ & \text{gdy ${x\in[0,1)}$;} \\ (1{-}x^n)-(1{-}x)\ge0\ & \text{gdy ${x\in(-\infty,-1]}.$} \end{cases}\] Natomiast gdy \({x\in(-1,0)},\) więc \({x^n<0},\) \(\;{1-x<2},\) użyjemy oszacowania \[\textstyle |x^n{-}1|-\frac12|x{-}1|=(1{-}x^n)-\frac12(1{-}x)>(1{-}x^n)-1>0.\] Zatem dla wszystkich rozważanych par \({n\in\{1,3,5,7,\ldots\}},\) \({x\in\mathbb R% }\) spełniona jest nierówność \[\textstyle |x^n-1|\ge% \frac12|x-1|,\] która pokazuje, że stała \({c=\frac12}\) jest dobra. Przy tym nie można jej zwiększyć, bowiem biorąc \({x_n=-n^{-1/{n}}},\) otrzymujemy w granicy (gdy \({n\to\infty}\) przez wartości nieparzyste): \[\biggl|\frac{x_{n}^n-1}{x_n-1}\biggr|=\frac{1-x_n^n}{1-x_n} =\frac{1+\frac1n}{1+n^{-1/{n}}}\longrightarrow\frac12\,.\] Stąd wniosek, że \({c=\frac12}\) jest maksymalną żądaną stałą. (W końcówce można było użyć dowolnego ciągu \((x_n)\) spełniającego warunki \({x_n\to-1},\) \(\;{x_n^n\to0}\)).
918. Niech \(M\) będzie środkiem odcinka \(DE,\) a \(K\) środkiem odcinka \(AB.\) Na następujących czwórkach punktów można opisać okręgi: \[AEDB,\ \ \ \ GMKF,\ \ \ \ DEFK. \tag{1}\] Uzasadnienia: punkty pierwszej czwórki leżą na okręgu o średnicy \(AB\) (kąty proste przy \(D\) i \(E\)); ten okrąg ma środek \(K,\) więc \({KD=KE}\); stąd \({KM\perp{ED}}\) i cykliczność drugiej czwórki (1) (kąty proste przy \(M\) i \(F\)). Cykliczność trzeciej możemy uzasadnić na przykład tak:
Niech \(H\) oznacza ortocentrum trójkąta \(ABC\); punkt \(F'\) symetryczny do \(H\) względem \(F\) leży na okręgu \(ABC\); podobnie punkty \(D'\) i \(E'\) symetryczne do \(H\) względem \(D\) i \(E.\) Punkt \(F''\) symetryczny do \(F'\) względem symetralnej boku \(AB\) też leży na tym okręgu; \(K\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(HF''\) trójkąta \(HF'F'',\) czyli \({HK=\frac12{HF''}}.\) Tak więc punkty \(D,\) \(E,\) \(F,\) \(K\) są obrazami punktów \(D',\) \(E',\) \(F',\) \(F''\) w jednokładności o środku \(H\) i skali \(1/2\); leżą zatem na okręgu \(DEF,\) będącym obrazem okręgu \(ABC\) [przechodzi on przez \(K\) i (podobnie) przez środki boków \(AC,\) \(BC\); większość Czytelników rozpoznaje w nim okrąg dziewięciu punktów trójkąta \(ABC\); a dla tych, którzy się z tym pojęciem nie zetknęli, zagadka: na razie widzimy sześć charakterystycznych punktów leżących na nim, skąd nazwa?].
Rysunek ilustruje sytuację, gdy tójkąt \(ABC\) jest ostrokątny. Zachęcamy Czytelników do wykonania odpowiednich szkiców, by się przekonać, że rozumowanie przenosi się bez żadnych zmian na przypadki trójkątów rozwartokątnych.
Gdy już mamy cykliczność każdej z trzech czwórek (1), dokończenie jest natychmiastowe: jeśli \({DE\Vert{AB}},\) to \({G=M},\) i nie ma czego dowodzić. Jeśli nie, to oznaczając przez \(X\) punkt przecięcia prostych \(DE\) i \(AB,\) dostajemy równości (potęg): \[XG\cdot XM=XF\cdot XK=XE\cdot XD=XA\cdot XB.\] Równość skrajnych iloczynów oznacza, że punkty \(G,\) \(M,\) \(A,\) \(B\) leżą na okręgu. [Rozwiązanie proponowane przez Autora zadania, Michała Adamaszka].
Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA
Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 F
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
808 (\(WT=1{,}69\)), 809 (\(WT=1{,}77\)) z numeru 12/2025
Paweł Perkowski Ożarów Maz. 6–43,90 Andrzej Nowogrodzki Chocianów 3–36,28 Krzysztof Zygan Lubin 34,85 Ryszard Woźniak Kraków 34,50 Tomasz Wietecha Tarnów 18–32,87 Marian Łupieżowiec Gliwice 3–22,34
Rys. 1
Rys. 2
Rys. 3
Rozwiązania zadań z numeru 3/2026
Przypominamy treść zadań:
814. Dno naczynia nachylone jest pod kątem \(\alpha=45^{\circ}\) do poziomu. W dnie znajduje się półsferyczna wypukłość o promieniu \(R\) (rys. 1). Wysokość słupa cieczy nad wypukłością wynosi \(H.\) Jaką siłą działa ciecz w kierunku pionowym na wypukłą część dna? Gęstość cieczy jest równa \(\rho.\)
815. Należy przeprowadzić gaz doskonały ze stanu 1 o temperaturze \(T_{1}\) do stanu 2 o temperaturze \(T_{2}>T_{1}\) w taki sposób, aby temperatura w ciągu całego procesu odwracalnego \(1\to2\) nie malała, a gaz nie oddawał ciepła. Minimalna ilość ciepła, jaką może pobrać gaz w opisanym procesie, wynosi \(Q_{1}.\) Jaka może być maksymalna ilość tego ciepła?
814. Rozważmy ciało w kształcie półkuli o promieniu \(R\), które znajduje się w cieczy o gęstości \(\rho\) i zorientowane jest w przestrzeni dokładnie tak, jak wypukła część dna danego naczynia (rys. 2). Zgodnie z prawem Archimedesa na ciało to działa skierowana pionowo w górę siła wyporu o wartości: \[F = 2\rho g\pi R^{3}/3.\] Siłę \(\mathbf{F}\) można przedstawić jako wypadkową sił działających ze strony cieczy: siły \(\mathbf{F}_{1}\) działającej na „podstawę” półkuli i siły \(\mathbf{F}_{2}\) działającej na jej powierzchnię boczną: \[\mathbf{F =}\mathbf{F}_{\mathbf{1}} + \mathbf{F}_{2},\] stąd \(\mathbf{F}_{2} = \mathbf{F} - \mathbf{F}_{1}.\)
Ponieważ ciśnienie cieczy rośnie liniowo wraz z głębokością, możemy napisać: \[F_{1} = p_{\textup{śr}}S = \rho g(H + R)\pi R^{2}.\] Przyjmijmy, że oś \(Y\) jest skierowana pionowo w górę. Składowa pionowa siły \(\mathbf{F}_{1}:\) \[F_{1y} = F_{1}\cos\alpha.\] Interesuje nas składowa pionowa siły \(\mathbf{F}_{2}\): \[F_{2y} = F - F_{1y} = \pi\rho gR^{2}\left\lbrack 2R/3 - (H + R)\cos\alpha \right\rbrack.\] Dla \(\alpha = 45^{\circ}\) \(\cos\alpha = \sqrt{2}/2 > 2/3\), zatem \(F_{2y} < 0\).
Szukana składowa pionowa siły, jaką działa ciecz na wypukłą część dna, skierowana jest w dół i ma wartość \[F_{2\bot} = F_{1y} - F = \pi\rho gR^{2}\lbrack (H + R)\sqrt{2}/2 - 2R/3 \rbrack.\] 815. Niech punkty 1 i 2 na wykresie \(pV\) wyznaczają stany gazu w temperaturach, odpowiednio, \(T_{1}\) i \(T_{2.}\). Poprowadźmy przez te punkty izotermy i adiabaty i oznaczmy punkty ich przecięcia cyframi 3 i 4 (rys. 3). Proces \(1 \rightarrow 2\) określony w treści zadania jest możliwy, gdy punkt 2 leży na prawo od adiabaty przechodzącej przez punkt 1, a wykres dowolnego procesu \(1 \rightarrow 2\) spełniającego warunki zadania musi leżeć wewnątrz cyklu \(1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1\).
Rozważmy cykl 1\(\rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1\). Na drodze 1\(\rightarrow 3 \rightarrow 2\) gaz pobiera ciepło \(Q_{132}\) (na izotermie), następnie oddaje ciepło o wartości bezwzględnej \(Q_{12}\) na drodze \(1 \rightarrow 2\), wykonując przy tym pracę równą \(Q_{132} - Q_{12}\), równą polu figury ograniczonej cyklem. Zatem \[Q_{132} \geq Q_{12}.\] Analogicznie, w procesie 1\(\rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1\) nieujemna praca wykonana przez gaz wynosi \(Q_{12} - Q_{142}\), stąd \[Q_{12} \geq Q_{142}.\] Z nierówności (1) i (2) otrzymujemy \[Q_{142} \leq Q_{12} \leq Q_{132}.\] Ponieważ proces \(1 \rightarrow 2\) jest dowolnym procesem spełniającym warunki zadania, z nierówności (3) wynika, że minimalna ilość ciepła pobranego przez gaz w takim procesie to \(Q_{142} = Q_{1},\) a maksymalna wynosi \(Q_{132}\). Oznaczmy ją przez \(Q_{2}.\ \)Proces 1\(\rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1\) jest cyklem Carnota, którego sprawność \(\eta = 1 - Q_{1}/Q_{2} = 1 - T_{1}/T_{2}\). Stąd \[Q_{2} = Q_{1}T_{1}/T_{2}.\]