Na rysunku przedstawiono trójkąt podzielony na \(25\) mniejszych trójkątów, ponumerowanych liczbami od \(1\) do \(25.\) Czy można te same liczby rozmieścić na polach kwadratowej planszy \(5\times 5\) w taki sposób, aby dowolne dwie liczby zapisane w sąsiednich trójkątach były również zapisane w sąsiednich kwadratowych polach? (Trójkąty, podobnie jak kwadraty, uważa się za sąsiednie, jeżeli mają wspólny bok).
Przypuśćmy, że jest inaczej i że udało nam się wpisać liczby od 1 do 25 w pola kwadratu w sposób spełniający warunki zadania. Pokolorujmy trójkąty oraz pola kwadratu naprzemiennie na czarno i biało, jak na rysunku.
Zauważmy, że z dowolnego trójkąta można przejść do każdego innego, przy czym w łańcuchu trójkątów tworzących tę drogę każde dwa sąsiednie trójkąty mają różne kolory. Z założeń wynika, że kolejne liczby z tego łańcucha tworzą również łańcuch na kwadratowej planszy, którego każde dwa kolejne pola są różnokolorowe. Wynika stąd, że dowolne dwie liczby zapisane w trójkątach tego samego koloru muszą być zapisane w kwadratowych polach tego samego koloru.
W danym trójkącie znajduje się \(15\) czarnych oraz \(10\) białych trójkątów. Natomiast w kwadracie \(5\times 5\) znajduje się \(13\) czarnych oraz \(12\) białych pól. Ponieważ liczba czarnych trójkątów jest większa niż liczba pól dowolnego koloru w kwadracie, nie jest możliwe spełnienie warunku zadania.
Niech \(ABCD\) będzie czworokątem wypukłym takim, że \({\angle ABD=\angle ACD=90^\circ.}\) Okręgi o średnicach \(AB\) oraz \(CD\) przecinają się w punktach \(P\) i \(Q\). Udowodnić, że \(2PQ<AD.\)
Niech \(K\) i \(L\) będą rzutami prostokątnymi punktów \(B\) i \(C\) na prostą \(AD.\) Wówczas okręgi o średnicach \(AB\) i \(CD\) przechodzą odpowiednio przez punkty \(K\) i \(L,\) a ich punkty wspólne \(P,\) \(Q\) leżą na łukach \(BK\) i \(CL.\) Ponieważ \(\angle BAK<90^\circ,\) otrzymujemy \(PQ\leq BK.\) Ponadto punkt \(B\) leży na półokręgu o średnicy \(AD,\) i dlatego \(BK\leq \frac{AD}{2},\) co kończy dowód. Obie przedstawione nierówności stają się równością tylko wtedy, gdy punkty \(B\) i \(C\) leżą w środku łuku \(AD.\)
Jaka jest najmniejsza liczba całkowita dodatnia \(k\) o następującej własności: dla każdego wielomianu \(f(x)\) stopnia \(2026\) o współczynnikach rzeczywistych istnieje taki wielomian \(g(x)\) stopnia co najwyżej \(k,\) również o współczynnikach rzeczywistych, że wykresy funkcji \(f(x)\) oraz \(g(x)\) mają dokładnie \(2026\) punktów wspólnych?
Niech \(n\geq 2\) będzie dowolną liczbą naturalną. Pokażemy, że dla dowolnego wielomianu \(f\) stopnia \(n\) istnieje wielomian \(g\) stopnia co najwyżej \(n-2,\) którego wykres przecina wykres \(f\) w dokładnie \(n\) punktach. Mnożenie wielomianu \(f\) przez niezerową stałą nie zmienia liczby punktów przecięcia wykresów (analogicznie można przeskalować \(g\)), dlatego bez straty ogólności możemy przyjąć, że \[f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots+a_n.\]
Wybierzmy dowolnie \(n\) parami różnych liczb rzeczywistych \(x_1,\dots,x_n,\) które spełniają warunek \[x_1+x_2+\dots+x_n=-a_1.\] Zdefiniujmy \[h(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n) \ \ \ \text{oraz}\ \ \ g(x)=f(x)-h(x).\]
Wielomiany \(f\) i \(h\) mają ten sam współczynnik przy \(x^n\) oraz przy \(x^{n-1},\) zatem stopień wielomianu \(g=f-h\) nie przekracza \(n-2.\) Ponadto punkty wspólne wykresów \(f\) i \(g\) są dokładnie pierwiastkami wielomianu \(h,\) czyli jest ich dokładnie \(n.\)
Pokażemy teraz, że stopień \(k\le n-3\) nie wystarcza. Niech \({f(x)=x^n},\) a \(g(x)\) będzie dowolnym wielomianem stopnia co najwyżej \(n-3.\) Załóżmy, że wykresy \(f\) i \(g\) przecinają się w \(n\) punktach o parami różnych odciętych \(x_1,\dots,x_n.\) Wówczas wielomian \(f-g\) stopnia \(n\) ma \(n\) rzeczywistych pierwiastków.
Zauważmy jednak, że w wielomianie \(f-g\) współczynniki przy \(x^{n-1}\) oraz \(x^{n-2}\) są równe zero. Z twierdzenia Viète’a otrzymujemy \[x_1+\dots+x_n=0 \ \ \ \text{oraz}\ \ \ \textstyle\sum\limits_{1\le i<j\le n} x_ix_j=0.\] Stąd \[x_1^2+\dots+x_n^2=(x_1+\dots+x_n)^2 -2\textstyle\sum\limits_{i<j}x_ix_j=0,\] co implikuje \(x_1=\dots=x_n=0,\) w sprzeczności z założeniem, że liczby \(x_i\) są parami różne.
Ptaki różnią się wielkościami, ale geometrycznie ich kształty są bardzo podobne (różnią się skalą wielkości). Jak moc potrzebna ptakom do utrzymania prędkości lotu zależy od ich wielkości: masy \(m\) i rozmiarów \(l\) (długości)? Wskazówka: zarówno siłę nośną skrzydeł, jak i siłę oporu powietrza podczas lotu z prędkością \(v\) opisuje wzór postaci: \[F = \tfrac{1}{2} \rho CSv^2,\] w którym \(\rho\) oznacza gęstość powietrza, \(S\) powierzchnię skrzydeł, a \(C\) jest współczynnikiem liczbowym: \(C_L\) dla siły nośnej i \(C_D\) dla siły oporu \((C_L \neq C_D).\)
Moc promieniowania elektromagnetycznego Słońca wynosi \({L_0 = 3{,}828\cdot 10^{26}}\ W\). Ciśnienie wywierane przez to promieniowanie działa przeciwnie do przyciągania grawitacyjnego i dla bardzo małych cząstek pyłu może doprowadzić do ich „wywiewania” z okolic Słońca. Dla cząstki pyłu obiegającej Słońce oddziaływanie z promieniowaniem Słońca spowalnia też jej ruch obiegowy. Kulista cząstka pyłu, dla której siła odpychająca promieniowania słonecznego wynosi \(\alpha = 0{,}1\) jej przyciągania grawitacyjnego przez Słońce, w chwili początkowej porusza się po orbicie kołowej o promieniu \(R_0 = 1{,}5\cdot 10^{11}\) m (promień orbity Ziemi). Ile czasu minie, nim ta cząstka spadnie na Słońce?
Dla cząstki poruszającej się po orbicie kołowej z prędkością \(v\) strumień pędu promieniowania słonecznego „nadbiega” pod kątem, a związany z tym faktem przekaz pędu jest źródłem siły hamującej równej \(Fv/c = \alpha F_Gv/c.\) Ze względu na bardzo małą wartość \(v/c\) – stosunku prędkości orbitalnej do prędkości światła – cząstka, która początkowo porusza się po orbicie kołowej, w każdej późniejszej chwili porusza się także po torze bardzo bliskim orbicie kołowej (o bardzo wolno malejącym promieniu). Na skutek działania siły \(Fv/c\) cząstka traci energię w tempie \(Fv^2/c = \alpha v^2F_G/c.\) Energia całkowita cząstki w polu siły \((1-\alpha)F_G\) wynosi: \[E = \frac{mv^2}{2} - \frac{(1-\alpha)GMm}{R} = -\frac{(1-\alpha)GMm}{2R}.\] W ostatniej równości uwzględniliśmy fakt, że na orbicie kołowej \(v^2 = (1-\alpha)GMm/R.\)
Otrzymujemy zależność: \[\frac{dE}{dt} = \frac{(1-\alpha)GMm}{2R^2}\frac{dR}{dt} = -\frac{\alpha GMm}{cR^2}\frac{(1-\alpha)GM}{R},\] czyli: \[\frac{dR}{dt} = -\frac{\alpha GM}{R} \Rightarrow \frac{dR^2}{dt} = - 4\alpha GM.\] Po scałkowaniu lewej strony od początkowej wartości \(R_0^2\) do 0, a prawej od 0 do \(t\) – czasu spadku na Słońce, otrzymujemy: \[R_0^2 = \frac{4\alpha GMt}{c}.\] Skorzystajmy ze związku zawierającego rok ziemski \(T\): \({GM/R_0^2 = 4\pi^2R_0/T^2}.\) Otrzymamy wówczas: \[t = \frac{cT^2}{16\pi^2\alpha R_0} = 3{,}99\cdot 10^3 T,\] czyli około 4 tysiące lat.
Warunki zadania (\(\alpha = 0{,}1\)) spełnia cząstka piasku o gęstości \(\rho = 2{,}65\) g/cm\(^3\) i średnicy \(d \approx 4{,}3\cdot 10^{-6}\) m.
Przedstawione tu zjawisko to tzw. efekt Poyntinga–Robertsona.