Afiliacja: Politechnika Łódzka
Cykl Człowiek o AI, zainaugurowany w \(\Delta_{26}^3\), to świetna okazja do szerszej dyskusji na tematy, którymi od dłuższego czasu męczę nie tylko swoich znajomych, ale i studentów analizy danych oraz uczenia maszynowego na Politechnice Łódzkiej, gdzie pracuję. Wielowymiarowość (pun definitely intended) zagadnień związanych ze sztuczną inteligencją sprawiła, że dłuższy moment wahałem się co do warunków początkowych poniższego strumienia świadomości, przelanego na papie… znaczy się do LaTeXowego pliku, rzecz jasna. Ostatecznie zauważyłem, że to tekst profesora Marcinkowskiego pt. Osiem krótkich uwag z pamiętnika najdłużej rezonował w neuronach mojego mózgu, i to on (tj. tekst, nie mózg) powinien stanowić punkt wyjścia moich dalszych spekulacji.
Szachowa polemika
W ,,uwagach z pamiętnika” profesor Marcinkowski słusznie zauważa, że nie ma na świecie nikogo, kto wygrałby w szachy ze swoim telefonem. Zdanie to podzielają wszyscy arcymistrzowie gry królewskiej, na czele z GOAT-em Magnusem Carlsenem, który otwarcie mówi o dominacji krzemowych graczy, chociażby w podcaście Joe Rogan Experience (odc. 2275). Co do wyniku meczu człowiek–maszyna wszyscy są zgodni, ale profesor Marcinkowski idzie o krok dalej, przekonując, że telefon nie rozumie pozycji figur na szachownicy, on jedynie „liczy warianty”. Nie jestem pewien, jak Autor „uwag z pamiętnika” rozumie „rozumienie”, ale z kontekstu wnioskuję, że chodzi o pewnego rodzaju intuicję, która nie sprowadza się do mechanicznego rachunku możliwych posunięć. Jak się okazuje, tak pojmowana sztuczna intuicja jest fundamentalną składową najlepszych silników szachowych i to dzięki niej telefony rozumieją szachy lepiej niż my.
Jeśli rozważyć szachową pozycję „zero”, to żaden współczesny (a najpewniej i żaden przyszły) komputer nie jest w stanie przeanalizować wszystkich możliwych wariantów rozgrywki. Owszem, silniki takie jak Stockfish rachują szybciej i głębiej niż najlepsi arcymistrzowie, ale nawet one nie są w stanie dotrzeć do końca gry królów. Widzą kilkanaście lub kilkadziesiąt ruchów do przodu, ale drzewo potencjalnych partii jest monstrualnych rozmiarów kolosem, którego nie sposób zobaczyć w całej okazałości. Oznacza to, że komputer gdzieś musi powiedzieć „STOP” (inaczej nie skończyłby liczyć do śmierci termicznej Wszechświata) i podjąć się wyzwania oceny pozycji, na której się zatrzymał. Nie wie, „co będzie dalej”, ale skoro ma ocenić ustawienie figur na szachownicy, to musi użyć swojej… intuicji(?).
Jeszcze w latach 90. komputer Deep Blue w legendarnym meczu z Garrym Kasparowem (innym pretendentem do miana szachowej „kozy”) do ewaluacji używał heurystyk postaci „\(-0{,}1\) punktu za zdwojone piony” lub „\(+0{,}2\) punktu za zroszowanego króla”. Kolejne dekady pokazały, że nie jest to podejście optymalne, a ludzkie heurystyki stopniowo odeszły do lamusa. Obecnie najmocniejsze silniki, jak Stockfish, Leela Chess Zero czy Komodo Dragon, oceniają pozycje szachowe przy użyciu sieci neuronowych. Sieci te przechodzą długotrwały proces treningowy (tak samo jak arcymistrzowie), w trakcie którego rozgrywają miliardy partii i uczą się na własnych błędach. Docelowo strategia ta okazuje się na tyle skuteczna, że żadna ludzka intuicja zapisana węglem w aksonach nie jest w stanie konkurować z intuicją sztuczną, zapisaną krzemem w naszych komputerach.
Metoda Kartezjusza i powrót do antyku
Wróćmy do artykułu profesora Marcinkowskiego. W jednej z uwag przeprowadza on eksperyment myślowy, w którym Banach ze Steinhausem siedzą w zadymionej kawiarni Szkockiej i dyskutują o problemach, które my znamy z Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej 2025. Profesor argumentuje za wyższością lwowskich geniuszy nad sztuczną inteligencją, którzy nie potrzebowaliby setek zadań testowych, by na serwetkach spisać rozwiązania problemów olimpijskich. Autor przyznaje jednak wyjątkowy status geometrii, z którą AI powinna sobie poradzić nawet bez takowego treningu. „Bo geometria jest z nami od bardzo dawna” pisze Autor, a ja mam nieodparte wrażenie, że nie o sam wiek tej gałęzi matematyki chodzi.
Gdy po raz pierwszy usłyszałem o srebrnym medalu olimpijskim dla AlphaGeometry, byłem przekonany, że sztuczna inteligencja podąża drogą przetartą jeszcze w XVII wieku przez jednego z ojców nowożytnej nauki. Mowa, rzecz jasna, o Kartezjuszu, który blisko 400 lat temu rozpoczął proces algebraizacji geometrii. Do dziś pomysł „wpiszę wszystko w układ współrzędnych i rozwiążę kilka równań” przynosi zaskakująco dobre rezultaty. Przykładem służy zadanie 5 z finału tegorocznej, 77. Olimpiady Matematycznej (zob. margines), gdzie „wystarcza” przyjąć środek \(O\) okręgu (bez straty ogólności o promieniu 1) za początek układu współrzędnych, przy czym oś OX najwygodniej ustawić równolegle do boku \(BC.\) W takim układzie mamy \(A = (x_A, y_A),\) \({B = (x_B, -1)},\) \({C = (x_C, -1)},\) \({D = (0, -1)}\) oraz \(M = (\frac{x_B + x_C}{2}, -1)\) i całe zadanie sprowadza się do żmudnych i nudnych rachunków, wyznaczających proste przechodzące przez dwa punkty, proste do nich prostopadłe, ich punkty przecięcia itd.
Zadanie 5 z finału 77. OM: Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC,\) w którym \(AB < AC.\) Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków \(BC, CA, AB,\) odpowiednio, w punktach \(D, E, F.\) Punkty \(X\) i \(Y\) leżą na prostej \(EF,\) przy czym proste \(BX\) i \(CY\) są prostopadłe do prostej \(BC.\) Punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(BC.\) Prosta symetryczna do \(BX\) względem \(MX\) przecina prostą symetryczną do \(CY\) względem \(MY\) w punkcie \(Z.\) Wykazać, że proste \(ZD\) i \(BC\) są prostopadłe.
Dość niespodziewanie (przynajmniej dla mnie) AlphaGeometry nie używa jednak uniwersalnej metody Kartezjusza, a zamiast tego korzysta z klasycznych technik i narzędzi, znanych jeszcze Talesowi czy Pitagorasowi. Studiując publikacje analityków z Google DeepMind, odnoszę wrażenie, że ich sztuczna inteligencja traktuje geometrię podobnie jak szachy, warcaby czy starochińską grę Go. Każdy krok dowodu to kolejny ruch, ale zamiast przesuwać figury po szachownicy, AI wpisuje okręgi w trójkąty, dorysowuje proste równoległe i rachuje miary kątów. Praprzyczyną sukcesu tego podejścia wydaje się stosunkowo łatwa „aksjomatyzowalność” geometrii, którą zauważył już Euklides w ,,Elementach”, a uściślił David Hilbert pod koniec XIX w. AI zwyczajnie potrafi grać w gry (także w geometrię) o jasno zdefiniowanych regułach.
Ostatni bastion ludzkości
Sukcesy sztucznej inteligencji w rozwiązywaniu problemów olimpijskich mogłyby sugerować, że już niebawem będziemy świadkami narodzin… ekhm… konstrukcji najlepszego matematyka w historii. Odnoszę jednak wrażenie, i tu chyba zgadzamy się z profesorem Marcinkowskim, że wciąż nie pokonaliśmy głównych przeszkód na drodze do krzemowego uczonego, dla którego dotychczas zgromadzona ludzka wiedza o matematyce będzie jawić się niczym szkolna tabliczka mnożenia. Wspomniane przeszkody sięgają jeszcze początków XX wieku, gdy okazało się (m.in. za sprawą hipotezy continuum czy twierdzenia Gödla), że jednolita aksjomatyzacja całej matematyki jest nieosiągalna. O ile zatem AI potrafi grać w geometrię, to gra w matematykę jest znacznie trudniejsza, gdyż nikt nie jest w stanie spisać jej wszystkich reguł. Co więcej, sami matematycy od dekad kłócą się o reguły już spisane, czego najżywszym przykładem jest podważana zasadność przyjmowania aksjomatu wyboru.
Kolejny (i może poważniejszy) problem łatwo zilustrować na przykładzie gry Nim, w której dwóch graczy naprzemiennie zabiera kamienie z ustalonej liczby stosów. W trakcie swojej rundy gracz wybiera pojedynczy stos, a następnie zabiera z niego dowolnie wybraną przez siebie liczbę kamieni (włącznie z zabraniem całego stosu). Zwycięzcą zostaje ten, kto zbierze ostatni kamień w grze (tzn. jego przeciwnik nie będzie miał już możliwości ruchu). Jak wykazują niedawne badania opublikowane na łamach „Machine Learning”, nawet modele wzorowane na algorytmach ze stajni Google DeepMind nie mogą równać się z najlepszymi graczami ludzkimi w Nim. Przewaga człowieka to bowiem efekt pracy Charlesa L. Boutona, który ponad 120 lat temu opracował strategię wygrywającą, opartą na xor-sumie liczby kamieni na poszczególnych stosach. Mimo całej swej sztucznej inteligencji i syntetycznej intuicji, krzemowi gracze do tej pory nie są w stanie odtworzyć pomysłu Boutona. Wyabstrahowanie złotej reguły rządzącej Nim na ten moment leży poza ich zasięgiem. Łączy się to zapewne z założeniem, że w przeciwieństwie do szachów czy Go Nim ma nieskończenie wiele pozycji startowych, gdyż ani liczba stosów, ani kamieni nie jest z góry ustalona. Stosów może być tysiąc, milion, miliard i tak ad infinitum… Matematycy od czasów paradoksów Zenona z Elei zmagają się z konceptem nieskończoności i zdążyli nabrać już pewnej wprawy w tej materii. Potrafią spojrzeć na nieograniczoną przestrzeń stanów Nim jako całość, wspiąć się na wyższy poziom abstrakcji i wydestylować strategię wygrywającą. Komputery jeszcze do tego nie dojrzały. Chcąc przerachować każdy możliwy stan po kolei, utykają niczym strzała Zenona, która nigdy nie sięga tarczy.
Więcej o grze Nim można poczytać w samej Delcie (\(\Delta^7_{10}\), \(\Delta^6_{13}\)), ale także w oryginalnym artykule Boutona – w tomie 3 (1901-1902) Annals of Mathematics, dostępnym pod adresem www.jstor.org/stable/1967631.
Gorąco zachęcam do lektury całego artykułu „Impartial Games: A Challenge for Reinforcement Learning” autorstwa Bei Zhou oraz Sorena Riisa.
Prowadzi to wszystko do dość optymistycznego wniosku, że póki co my, ludzie, jesteśmy w stanie spojrzeć „głębiej” niż nasi krzemowi rywale. Owszem, liczymy wolniej i gorzej, i w silnie zaksjomatyzowanych systemach komputery biją nas na głowę. Niemniej, jeśli chodzi o wyjście poza utarte schematy i reguły, człowiek nadal potrafi wieść prym nad maszyną. Pytanie tylko: jak długo?