Zadania

W polu magnetycznym o indukcji \(\vec B\) na protony o ładunku \(e\) (ładunek elementarny) poruszające się z prędkością \(\vec v\) działa siła Lorentza \(\vec F = e\vec v \times \vec B.\) Równanie ruchu (Newtona) wiąże szybkość zmiany pędu \(\vec p\) z działającą siłą. Mamy: \[\frac{d\vec p}{dt} = e\vec v \times \vec B.\] Masa spoczynkowa protonu wynosi około \({\rm 1~GeV = 10^{9}~eV = 10^{-3}}\) TeV, a więc proton o energii 6,5 TeV porusza się z prędkością praktycznie równą prędkości światła \(c.\) Pęd cząstki poruszającej się z prędkością porównywalną z prędkością światła wynosi: \[\vec p = \gamma m_0 \vec v,\ \ \ \gamma = 1/\sqrt{1-(v/c)^2}.\] Przepiszmy równanie ruchu, wykorzystując relatywistyczny związek między \(\vec v\) i \(\vec p\) : \[\frac{d\vec p}{dt} = \left(\frac{e}{\gamma m_0}\right)\vec p \times \vec B.\] Iloczyn wektorowy po prawej stronie jest prostopadły do \(\vec B\) i do \(\vec p,\) co oznacza, że zgodnie z tym równaniem (wektor \(\vec B\) ma stałą wartość, kierunek i zwrot) zmienia się jedynie kierunek wektora \(\vec p,\) a jego długość pozostaje bez zmian – ruch odbywa się po okręgu o promieniu \(R,\) a szybkość, z jaką obraca się wektor prędkości \(\vec v\) (prędkość kątowa ruchu), wynosi: \[\frac{v}{R} = \frac{eB}{\gamma m_0}.\] Otrzymujemy: \[R = \frac{\gamma m_0v}{eB} \approx \frac{E}{eBc}.\] W drugiej równości skorzystaliśmy z faktu, że \(v \approx c\) oraz \(E = \gamma m_0 c^2.\) Liczbowo otrzymujemy \(R \approx 2{,}8\cdot 10^3\) m (dokładna wartość podawana w dokumentach technicznych LHC to \(R = 2803\) m). Długość LHC (26 659 m) jest większa niż \(2\pi\) razy otrzymana tu wartość \(R,\) bo tunel, w którym biegnie wiązka, nie jest dokładnie okręgiem (są odcinki proste), a pole zakrzywiające wiązkę ma na niektórych odcinkach bardziej skomplikowaną formę niż przyjęte tu pole jednorodne.

Prawa zachowania pędu i energii pozwolą nam znaleźć energię i pęd mezonu. Energia całkowita \(E\) mezonu była równa sumie energii fotonów: \(E = E_1 + E_2 = 225\) MeV. Pęd mezonu także był równy sumie pędów fotonów. Po rozpadzie fotony poruszały się wzdłuż tej samej prostej co mezon przed rozpadem. Przyjmijmy zwrot ruchu mezonu przed rozpadem za dodatni. Energia fotonu równa jest iloczynowi wartości jego pędu i prędkości światła \(c.\) Pęd \(p\) mezonu przed rozpadem wynosił więc: \[p = E_1/c - E_2/c = 180~\rm MeV/c.\] Dla obliczenia masy spoczynkowej \(m_0\) mezonu skorzystamy z tożsamości: \[m_0c^2 = \sqrt{E^2 - c^2p^2}.\] Liczbowo otrzymujemy \(m_0c^2 = 135\) MeV, natomiast prędkość wyznaczymy ze związku: \[\frac{v}{c} = \frac{cp}{E} = 180/225 = 0{,}8.\] Otrzymujemy, że rozpadł się mezon o masie \(m_0 = 135\) MeV/c\(^2\) (mezon \(\pi^0\)), o energii całkowitej \(E = 225\) MeV, poruszający się z prędkością \(v = 0{,}8c \approx 2{,}4\cdot 10^8\) m/s.

Odpowiedź: dla wszystkich \(n\geq 3.\)

Zauważmy, że jeśli \(n\geq 3,\) to wśród liczb od \(n\) do \(n^2\) znajdują się cztery różne liczby \[n<n+1<2n<2n+2,\] dla których zachodzi równość \[n(2n+2)=2n(n+1).\] (Uzasadnienie, że dla \(n\geq 3\) mamy \(2n+2\leq n^2,\) pozostawiamy Czytelnikom).

Jeśli zaś \(n\leq 2,\) to w zbiorze są mniej niż \(4\) liczby, więc nie da się wybrać czterech różnych liczb.

Przypuśćmy przeciwnie, że wszystkie trzy liczby \[ab+1,\ \ \ bc+1,\ \ \ ca+1\] są kwadratami. Bez straty ogólności załóżmy, że \(a<b<c.\) Z nierówności trójkąta mamy wtedy \(a+b>c.\)

Zauważmy, że liczby \((ca+1)(cb+1)\) oraz \(c^2(ab+1)\) są kwadratami. Istnieją więc liczby całkowite \(x,y\) takie, że \[(ca+1)(cb+1)=x^2 \ \ \ \text{oraz} \ \ \ c^2(ab+1)=y^2.\] Wtedy liczba \[d:=x^2-y^2=(ca+1)(cb+1)-c^2(ab+1)=c(a+b-c)+1\] jest dodatnia, skąd \(x>y,\) a więc \(x\geq y+1.\) Zatem \[d=x^2-y^2\geq (y+1)^2-y^2=2y+1.\] Ponieważ \(y=c\sqrt{ab+1},\) to \[d\geq 2c\sqrt{ab+1}+1.\] W szczególności \(d>2ac+1.\) Z kolei ponieważ \(c>b,\) to \[ac+1>c(a+b-c)+1=d.\] Ostatecznie więc \[d\geq 2c\sqrt{ab+1}+1>2ac+1>ac+1>c(a+b-c)+1=d,\] sprzeczność.

Odpowiedź: \(\sqrt{5}.\)

Rozważmy w naszym kwadracie dowolne dwie kratki mające wspólny bok. Mają one łącznie \(6\) wierzchołków, a odległość między dowolnymi dwoma spośród nich nie przekracza \(\sqrt{5}.\)

Ponieważ punktów tych jest \(6,\) a kolorów tylko \(5,\) to z zasady szufladkowej Dirichleta dwa z tych punktów mają ten sam kolor. Zatem w każdym przypadku znajdą się dwa jednokolorowe punkty w odległości nie większej niż \(\sqrt{5}.\)

Następujący przykład dowodzi, że ograniczenie \(\sqrt{5}\) jest optymalne.