Opublikowany w tym numerze Kącik Początkującego Olimpijczyka nr 66
poświęcony jest zastosowaniu przekształceń afinicznych w rozwiązywaniu zadań
olimpijskich. W niniejszym artykule przedstawiam nieco bardziej
abstrakcyjne spojrzenie na tę tematykę.
Uogólniona płaszczyzna
Trójkę
w której i są zbiorami, a jest relacją pomiędzy ich elementami (czyli dla każdego i zdanie jest prawdziwe lub fałszywe), nazywamy uogólnioną płaszczyzną. Jest to faktycznie obiekt niezmiernie ogólny, gdyż elementy zbiorów i mogą być czymkolwiek. Dla przykładu, może być zbiorem potraw, – zbiorem ludzi, a relacja oznacza, że lubi I to naprawdę jest pełnoprawna uogólniona płaszczyzna!
Chcąc jednak pozostać nieco bliżej planimetrii, umownie będziemy nazywać:
|
– |
zbiorem punktów, |
|
– |
zbiorem prostych, |
|
– |
relacją incydencji. |
Zamiast punkt jest incydentny z prostą możemy powiedzieć: punkt leży na prostej lub prosta przechodzi przez punkt . Ważna uwaga – na płaszczyźnie euklidesowej proste w pewnym sensie są zbiorami punktów i relacja jest po prostu relacją W ogólności wcale nie musi tak być.
Punkty nazywamy współliniowymi, gdy istnieje prosta która przechodzi przez każdy z nich. Jeśli przez pewien punkt przechodzi każda z prostych to nazywamy te proste współpękowymi. Proste i które nie są współpękowe, nazywamy równoległymi. Piszemy wówczas Dodatkowo zakładamy, że każda prosta jest równoległa do samej siebie.
Płaszczyzna afiniczna
Aby nieco ograniczyć liczbę obiektów, z którymi będziemy pracować, wprowadzamy pojęcie płaszczyzny afinicznej, która – oprócz tego, że jest uogólnioną płaszczyzną – spełnia dodatkowo trzy aksjomaty. Każdy z nich opiszę krótko, podając, w jakim celu jest wprowadzony i jakie daje korzyści.
Aksjomat (A1). Przez każde dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.
Możemy zatem bez wyrzutów sumienia mówić prosta , bo taka prosta istnieje i jest dokładnie jedna. Bezpośrednią konsekwencją tego aksjomatu jest to, że każde dwie proste albo są równoległe, albo istnieje dokładnie jeden punkt incydentny z nimi dwiema. W tym drugim przypadku będziemy mówić, że proste się przecinają, a wspomniany punkt nazwiemy ich punktem przecięcia. Jeśli trójka punktów nie jest współliniowa, to będziemy ją nazywać trójkątem . Jeżeli czwórka punktów spełnia warunki: i oraz te cztery proste są różne, to mówimy o równoległoboku .
Aksjomat (A2). Dla każdego punktu i prostej istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt i równoległa do prostej
Dzięki temu aksjomatowi relacja równoległości jest przechodnia: jeżeli i to – w przeciwnym razie istniałby punkt, przez który przechodzą dwie proste ( i ) równoległe do Możemy zatem podzielić zbiór na takie rozłączne parami podzbiory indeksowane elementami z pewnego zbioru
że zachodzi równoważność dla pewnego Podzbiory te, czyli klasy równoległości prostych, nazywamy kierunkami.
Drugim ważnym wnioskiem jest to, że każdy trójkąt można uzupełnić do równoległoboku Konstrukcja jest następująca. Niech będzie prostą równoległą do przechodzącą przez oraz niech będzie prostą równoległą do przechodzącą przez Mamy Oznacza to, że proste i należą do różnych kierunków, więc się przecinają. Jeśli jest ich punktem przecięcia, to jest równoległobokiem.
Aksjomat (A3). Istnieje trójkąt.
Ten aksjomat zapobiega sytuacji zupełnie nieciekawej, w której wszystkie punkty
leżą na jednej prostej. Można powiedzieć więcej: dla każdej prostej istnieją co
najmniej dwa punkty, przez które ta prosta nie przechodzi – pierwszy wprost z aksjomatu, drugi z konstrukcji równoległoboku. Niech będzie trójkątem,
który uzupełniamy do równoległoboku Dla dowolnej prostej mamy
lub W pierwszym przypadku prostą
przecinają proste i które są różne i równoległe – stąd na prostej
leżą co najmniej dwa punkty. W drugim przypadku jest analogicznie. Zatem
każda prosta przechodzi przez co najmniej dwa punkty. Teraz już możemy utożsamić
prostą ze zbiorem punktów, przez które przechodzi! Zamiast możemy teraz
pisać
Kolineacje płaszczyzny afinicznej
Przekształcenie nazywamy kolineacją płaszczyzny , jeśli jest bijekcją oraz spełnia następujący warunek: dla każdej trójki współliniowych punktów punkty również są współliniowe.
Twierdzenie. Niech będzie kolineacją płaszczyzny afinicznej.
Wówczas dla każdej prostej zbiór też jest prostą.
Mówiąc prościej, obrazami prostych są proste.
Dowód. Niech punkty i leżą na prostej Przez punkty
primowane zawsze oznaczać będziemy obrazy punktów nieprimowanych. Oznaczmy
Z definicji kolineacji wynika, że dla każdego zachodzi
więc Trzeba jeszcze
wykazać przeciwne zawieranie. Przypuśćmy, że tak nie jest i niech punkt
ale Ponieważ obrazy prostych
i są zawarte w Uzupełnijmy trójkąt do
równoległoboku
Niech będzie dowolnym punktem różnym od
Wówczas lub W pierwszym przypadku
proste i przecinają się w pewnym punkcie Ponieważ leży na
mamy Również więc
Drugi
przypadek jest analogiczny. Wnioskujemy stąd, że
Funkcja
jest bijekcją, więc co najwyżej jeden punkt ()
nie leży na prostej Jest to poszukiwana sprzeczność, bo powinny być co
najmniej dwa takie punkty.
Jednym z najważniejszych wniosków jest to, że przekształcenie odwrotne do kolineacji płaszczyzny afinicznej również jest kolineacją płaszczyzny afinicznej. Kolejne, nietrudne wnioski pozostawiam Czytelnikowi: obrazami/przeciwobrazami trójkątów są trójkąty, par prostych równoległych – pary prostych równoległych, par prostych przecinających się – pary prostych przecinających się, a równoległoboków – równoległoboki.
Płaszczyzna afiniczna
Od teraz będziemy prowadzić rozważania dla płaszczyzny euklidesowej , która, jak łatwo sprawdzić, z punktami oraz prostymi spełnia definicję płaszczyzny uogólnionej z relacją oraz aksjomaty płaszczyzny afinicznej. Celem jest następujące
Twierdzenie. Kolineacje płaszczyzny są tym samym, co przekształcenia afiniczne, czyli odwzorowania bijektywne spełniające następujące warunki:
Dowód. Każde przekształcenie afiniczne jest kolineacją – wynika to z warunku (1). Załóżmy zatem, że przekształcenie jest kolineacją Warunek (1) już udowodniliśmy, dowód warunku (2) podzielimy na kilka kroków. Tak jak poprzednio, niech punkty primowane będą obrazami punktów nieprimowanych.
Krok 1. Jeśli
to
Jeżeli proste i są różne, to jest
równoległobokiem, więc jego obraz też jest równoległobokiem.
W przeciwnym razie rozważamy dodatkowy wektor który
leży poza prostą Korzystając dwukrotnie z pierwszego przypadku, mamy
Niech będzie zbiorem wektorów swobodnych, dwuwymiarowych, o współrzędnych
rzeczywistych. Korzystając z powyższego, możemy zdefiniować przekształcenie
indukowane przez kolineację w następujący sposób:
dla punktów i spełniających równość Przekształcenie
jest poprawnie i jednoznacznie określone za pomocą Jeśli znamy oraz
wiemy, że to możemy jednoznacznie odtworzyć przekształcenie
za pomocą równości
Krok 2. oraz
dla każdego wymiernego
Rozważmy takie punkty że i
Wtedy Dalej indukcyjnie z warunkiem początkowym Stąd więc Pozostaje zauważyć, że
Rozważmy proste i przecinające się w punkcie Niech
będą odpowiednio punktami na prostych i oraz
niech i
Określmy funkcję
w taki sposób, że
dla
każdego
Analogicznie niech
Z poprzedniego kroku wynika, że
dla wszystkich wymiernych.
Krok 3.
Niech oraz i
Mamy więc Stąd
Krok 4. dla i rzeczywistych.
Zachodzą równości:
Krok 5. Funkcja jest niemalejąca.
Rozważmy wektor Wektor jest do niego równoległy, więc wektory i są równoległe. Mają one zatem proporcjonalne współczynniki przy i co prowadzi do równości Wnioskujemy stąd, że jeśli to Dla zapiszmy Mamy
Krok 6. dla każdego
Funkcja jest niemalejąca oraz identycznościowa na zbiorze liczb wymiernych, więc jest identycznościowa na zbiorze liczb rzeczywistych, gdyż zbiór liczb wymiernych jest w nim gęsty.
Zauważmy, że teza kroku 6 tłumaczy się na
równość z warunku (2). Uff, koniec dowodu!