Delta 6/2024

Proste i punkty w świecie abstrakcji

Opublikowany w tym numerze Kącik Początkującego Olimpijczyka nr 66 poświęcony jest zastosowaniu przekształceń afinicznych w rozwiązywaniu zadań olimpijskich. W niniejszym artykule przedstawiam nieco bardziej abstrakcyjne spojrzenie na tę tematykę.

Uogólniona płaszczyzna

Trójkę Π=(P,L,), w której PL są zbiorami, a jest relacją pomiędzy ich elementami (czyli dla każdego PPL zdanie P jest prawdziwe lub fałszywe), nazywamy uogólnioną płaszczyzną. Jest to faktycznie obiekt niezmiernie ogólny, gdyż elementy zbiorów PL mogą być czymkolwiek. Dla przykładu, P może być zbiorem potraw, L – zbiorem ludzi, a relacja P oznacza, że lubi P. I to naprawdę jest pełnoprawna uogólniona płaszczyzna!

Chcąc jednak pozostać nieco bliżej planimetrii, umownie będziemy nazywać:

P zbiorem punktów,
L zbiorem prostych,
relacją incydencji.

Zamiast punkt P jest incydentny z prostą możemy powiedzieć: punkt P leży na prostej lub prosta  przechodzi przez punkt P. Ważna uwaga – na płaszczyźnie euklidesowej proste w pewnym sensie są zbiorami punktów i relacja jest po prostu relacją . W ogólności wcale nie musi tak być.

Punkty P1,P2, nazywamy współliniowymi, gdy istnieje prosta , która przechodzi przez każdy z nich. Jeśli przez pewien punkt P przechodzi każda z prostych 1,2,, to nazywamy te proste współpękowymi. Proste 12, które nie są współpękowe, nazywamy równoległymi. Piszemy wówczas 12. Dodatkowo zakładamy, że każda prosta jest równoległa do samej siebie.

Płaszczyzna afiniczna

Aby nieco ograniczyć liczbę obiektów, z którymi będziemy pracować, wprowadzamy pojęcie płaszczyzny afinicznej, która – oprócz tego, że jest uogólnioną płaszczyzną – spełnia dodatkowo trzy aksjomaty. Każdy z nich opiszę krótko, podając, w jakim celu jest wprowadzony i jakie daje korzyści.

Aksjomat (A1). Przez każde dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

Możemy zatem bez wyrzutów sumienia mówić prosta AB, bo taka prosta istnieje i jest dokładnie jedna. Bezpośrednią konsekwencją tego aksjomatu jest to, że każde dwie proste albo są równoległe, albo istnieje dokładnie jeden punkt incydentny z nimi dwiema. W tym drugim przypadku będziemy mówić, że proste się przecinają, a wspomniany punkt nazwiemy ich punktem przecięcia. Jeśli trójka punktów (A,B,C) nie jest współliniowa, to będziemy ją nazywać trójkątem ABC. Jeżeli czwórka punktów (A,B,C,D) spełnia warunki: ABCDBCDA oraz te cztery proste są różne, to mówimy o równoległoboku ABCD.

Aksjomat (A2). Dla każdego punktu P i prostej istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do prostej .

Dzięki temu aksjomatowi relacja równoległości jest przechodnia: jeżeli 1223, to 13 – w przeciwnym razie istniałby punkt, przez który przechodzą dwie proste (13) równoległe do 2. Możemy zatem podzielić zbiór L na takie rozłączne parami podzbiory Ki indeksowane elementami i z pewnego zbioru I, że zachodzi równoważność 121,2Ki dla pewnego iI. Podzbiory te, czyli klasy równoległości prostych, nazywamy kierunkami.

Drugim ważnym wnioskiem jest to, że każdy trójkąt ABC można uzupełnić do równoległoboku ABCD. Konstrukcja jest następująca. Niech 1 będzie prostą równoległą do AB, przechodzącą przez C oraz niech 2 będzie prostą równoległą do BC, przechodzącą przez A. Mamy 1ABBC2. Oznacza to, że proste 12 należą do różnych kierunków, więc się przecinają. Jeśli D jest ich punktem przecięcia, to ABCD jest równoległobokiem.

Aksjomat (A3). Istnieje trójkąt.

Ten aksjomat zapobiega sytuacji zupełnie nieciekawej, w której wszystkie punkty leżą na jednej prostej. Można powiedzieć więcej: dla każdej prostej istnieją co najmniej dwa punkty, przez które ta prosta nie przechodzi – pierwszy wprost z aksjomatu, drugi z konstrukcji równoległoboku. Niech ABC będzie trójkątem, który uzupełniamy do równoległoboku ABCD. Dla dowolnej prostej mamy AB lub BC. W pierwszym przypadku prostą przecinają proste ABCD, które są różne i równoległe – stąd na prostej leżą co najmniej dwa punkty. W drugim przypadku jest analogicznie. Zatem każda prosta przechodzi przez co najmniej dwa punkty. Teraz już możemy utożsamić prostą ze zbiorem punktów, przez które przechodzi! Zamiast P możemy teraz pisać P.

Kolineacje płaszczyzny afinicznej

Przekształcenie L:PP nazywamy kolineacją płaszczyzny Π, jeśli jest bijekcją oraz spełnia następujący warunek: dla każdej trójki współliniowych punktów A, B, C punkty L(A), L(B), L(C) również są współliniowe.

Twierdzenie. Niech L będzie kolineacją płaszczyzny afinicznej. Wówczas dla każdej prostej L zbiór L() też jest prostą.

Mówiąc prościej, obrazami prostych są proste.

Dowód. Niech punkty AB leżą na prostej . Przez punkty primowane zawsze oznaczać będziemy obrazy punktów nieprimowanych. Oznaczmy =AB. Z definicji kolineacji wynika, że dla każdego X zachodzi X, więc L(). Trzeba jeszcze wykazać przeciwne zawieranie. Przypuśćmy, że tak nie jest i niech punkt C, ale C. Ponieważ A,B,C, obrazy prostych AB, BCCA są zawarte w . Uzupełnijmy trójkąt ABC do równoległoboku ABCD.
Niech P będzie dowolnym punktem różnym od A, B, C, D. Wówczas CPAB lub APBC. W pierwszym przypadku proste CPAB przecinają się w pewnym punkcie Q. Ponieważ Q leży na AB, mamy Q. Również C, więc P.

image

Drugi przypadek jest analogiczny. Wnioskujemy stąd, że L(P{D}). Funkcja F:PP jest bijekcją, więc co najwyżej jeden punkt (D) nie leży na prostej . Jest to poszukiwana sprzeczność, bo powinny być co najmniej dwa takie punkty.

Jednym z najważniejszych wniosków jest to, że przekształcenie odwrotne do kolineacji płaszczyzny afinicznej również jest kolineacją płaszczyzny afinicznej. Kolejne, nietrudne wnioski pozostawiam Czytelnikowi: obrazami/przeciwobrazami trójkątów są trójkąty, par prostych równoległych – pary prostych równoległych, par prostych przecinających się – pary prostych przecinających się, a równoległoboków – równoległoboki.

Płaszczyzna afiniczna R2

Od teraz będziemy prowadzić rozważania dla płaszczyzny euklidesowej R2, która, jak łatwo sprawdzić, z punktami P=(x,y) oraz prostymi ={(x,y):ax+by+c=0} (a2+b20) spełnia definicję płaszczyzny uogólnionej z relacją oraz aksjomaty płaszczyzny afinicznej. Celem jest następujące

Twierdzenie. Kolineacje płaszczyzny R2 są tym samym, co przekształcenia afiniczne, czyli odwzorowania bijektywne F:R2R2, spełniające następujące warunki:

  • obrazami prostych są proste;

  • jeśli SX=xSA dla pewnej liczby rzeczywistej x, to F(S)F(X)=xF(S)F(A).

Dowód. Każde przekształcenie afiniczne jest kolineacją – wynika to z warunku (1). Załóżmy zatem, że przekształcenie L jest kolineacją R2. Warunek (1) już udowodniliśmy, dowód warunku (2) podzielimy na kilka kroków. Tak jak poprzednio, niech punkty primowane będą obrazami punktów nieprimowanych.

Krok 1. Jeśli A1B1=A2B2, to A1B1=A2B2.
Jeżeli proste A1B1A2B2 są różne, to A1B1B2A2 jest równoległobokiem, więc jego obraz A1B1B2A2 też jest równoległobokiem. W przeciwnym razie rozważamy dodatkowy wektor A3B3, który leży poza prostą A1B1. Korzystając dwukrotnie z pierwszego przypadku, mamy A1B1=A3B3=A2B2.

Niech V będzie zbiorem wektorów swobodnych, dwuwymiarowych, o współrzędnych rzeczywistych. Korzystając z powyższego, możemy zdefiniować przekształcenie T:VV indukowane przez kolineację L w następujący sposób: T(v)=AB, dla punktów A i B spełniających równość v=AB. Przekształcenie T jest poprawnie i jednoznacznie określone za pomocą L. Jeśli znamy T oraz wiemy, że L(S)=S, to możemy jednoznacznie odtworzyć przekształcenie L za pomocą równości SX=T(SX).

Krok 2. T(u+v)=T(u)+T(v) oraz T(tv)=tT(v) dla każdego wymiernego t.
Rozważmy takie punkty A, B, C, że u=AB i v=BC. Wtedy T(u+v)=T(AC)=AC=AB+BC=T(u)+T(v). Dalej indukcyjnie T((n+1)v)=T(nv+v)=T(nv)+T(v)=nT(v)+T(v)=(n+1)T(v) z warunkiem początkowym n=1. Stąd mT(nmv)==T(nv)=nT(v), więc T(nmv)=nmT(v). Pozostaje zauważyć, że T(v)=T(v).

Rozważmy proste ab przecinające się w punkcie S. Niech A,BS będą odpowiednio punktami na prostych ab oraz niech a=SAb=SB. Określmy funkcję ϕ:RR w taki sposób, że T(xa)=ϕ(x)T(a) dla każdego xR. Analogicznie niech T(yb)=ψ(y)T(b). Z poprzedniego kroku wynika, że ψ(t)=ϕ(t)=t dla wszystkich t wymiernych.

Krok 3. ϕ=ψ.
Niech x=y oraz SX=xa i SY=yb. Mamy XYAB, więc XYAB. Stąd ϕ(x)=ψ(y).

image

Krok 4. ϕ(x+y)=ϕ(x)+ϕ(y) dla xy rzeczywistych.
Zachodzą równości: ϕ(x)T(a)+ϕ(y)T(a)=T(xa)++T(ya)=T(xa+ya)=T((x+y)a)=ϕ(x+y)T(a).

Krok 5. Funkcja ϕ jest niemalejąca.
Rozważmy wektor v=xa+b. Wektor xv jest do niego równoległy, więc wektory T(v)=ϕ(x)T(a)+T(b)T(xv)=ϕ(x2)T(a)+ϕ(x)T(b) są równoległe. Mają one zatem proporcjonalne współczynniki przy T(a)T(b), co prowadzi do równości ϕ(x2)=ϕ(x)2. Wnioskujemy stąd, że jeśli t0, to ϕ(t)=ϕ(t)20. Dla yx zapiszmy y=x+t. Mamy ϕ(y)=ϕ(x+t)=ϕ(x)+ϕ(t)ϕ(x).

Krok 6. ϕ(t)=t dla każdego tR.
Funkcja ϕ jest niemalejąca oraz identycznościowa na zbiorze liczb wymiernych, więc jest identycznościowa na zbiorze liczb rzeczywistych, gdyż zbiór liczb wymiernych jest w nim gęsty.

Zauważmy, że teza kroku 6 tłumaczy się na równość z warunku (2). Uff, koniec dowodu!