Delta 6/2024

Przekształcenia afiniczne

Przekształcenia afiniczne to bijekcje F:R2R2 spełniające następujące warunki:

  1. obrazami prostych są proste;

  2. jeśli SX=xSA dla xR, to F(S)F(X)=xF(S)F(A).

Aby wykazać, że dane przekształcenie płaszczyzny R2 jest afiniczne, wystarczy zweryfikować, że jest bijektywne i zachowuje współliniowość punktów (co uzasadniam w artykule Proste i punkty w świecie abstrakcji w tym numerze Delty). Jest zatem oczywiste, że wszystkie homometrie (podobieństwa) są przekształceniami afinicznymi. Są jednak jeszcze inne przekształcenia afiniczne. Oto przykłady:

image             image

Po lewej stronie widzimy powinowactwo prostokątne, a po prawej pochylenie. Jeśli zaznaczona prosta ma równanie y=0, to dla powinowactwa prostokątnego mamy (x,y)(x,λy) (λ0 jest współczynnikiem przekształcenia), a dla pochylenia (x,y)(x+λy,y).

Niech ABCABC będą niezdegenerowanymi trójkątami. Niech F1 będzie homometrią, która przekształca odcinek AB w odcinek AB, a punkt C w pewien punkt C1. Przez F2 oznaczmy powinowactwo prostokątne względem prostej AB, które punkt C1 przekształca w taki punkt C2, że C2CAB. Na koniec niech F3 będzie pochyleniem względem prostej AB, dla którego F3(C2)=C. Przekształcenie afiniczne F=F3F2F1 przeprowadza punkty A, B, C w punkty, odpowiednio, A, B, C, więc każdy trójkąt można afinicznie przekształcić w każdy inny. Co więcej, jest to jedyne takie przekształcenie, gdyż jeśli F(X)=XCX=xCA+yCB, to CX=xCA+yCB.

Niech s będzie skalą homometrii F1, a λ współczynnikiem
powinowactwa prostokątnego F2. Wówczas F przekształci figurę o polu P w figurę o polu s2|λ|P. Wynika z tego, że przekształcenia afiniczne zachowują proporcję pól.

Jeśli założenia i teza pewnego twierdzenia nie zmieniają się po zastosowaniu do nich przekształcenia afinicznego, to nazywamy je afinicznym. Takie twierdzenie wystarczy udowodnić dla jednej, najwygodniejszej konfiguracji geometrycznej i jest ono wówczas dowiedzione dla każdej konfiguracji, która jest z nią afiniczna.

Prosty przykład: środkowe trójkąta dzielą go na sześć trójkątów o równych polach. Jest to twierdzenie afiniczne, gdyż po przekształceniu afinicznym środkowe pozostają środkowymi (zachowanie współliniowości i proporcji na prostej) oraz trójkąty o równych polach są przekształcone właśnie na takie trójkąty. Wystarczy więc wykazać je dla trójkąta równobocznego, bo każdy trójkąt jest afiniczny z każdym, w szczególności z równobocznym. A środkowe dzielą trójkąt równoboczny na sześć trójkątów przystających.

Zadania

1. Dany jest trójkąt ABC. Na odcinku AB leżą punkty R1R2 spełniające równość |AR1|=|BR2|. Analogiczną własność mają punkty P1P2 na odcinku BC oraz Q1Q2 na odcinku CA. Wykazać, że trójkąty P1Q1R1P2Q2R2 mają równe pola.

Wskazówka

2. Na bokach BC, CA, AB trójkąta ABC leżą punkty, odpowiednio, P, Q, R; zachodzi ponadto równość |AR||RB|=|BP||PC|=|CQ||QA|. Udowodnić, że trójkąty ABC, PQR oraz trójkąt wyznaczony przez proste AP, BQ, CR mają wspólny środek ciężkości.

Wskazówka

3. Dany jest równoległobok ABCD. Na odcinkach AB, BC, CD leżą, odpowiednio, punkty K, L, M, przy czym |AK||KB|=|BL||LC|=|CM||MD|. Prosta mKL przechodzi przez punkt B. Prosta lKM przechodzi przez punkt C. Prosta kML przechodzi przez punkt D. Dowieść, że proste k, m, l przecinają się w jednym punkcie.

Wskazówka

4. Na boku AC trójkąta ABC wybrano punkt Q. Punkt P jest środkiem odcinka BC. Odcinki APBQ przecinają się w punkcie T. Punkt R jest środkiem odcinka AT, natomiast punkt S leży na odcinku BT i spełnia równość |BS|=|QT|. Dowieść, że PSQR.

Wskazówka