Przekształcenia afiniczne to bijekcje spełniające następujące warunki:
obrazami prostych są proste;
jeśli dla
to
Aby wykazać, że dane przekształcenie płaszczyzny jest afiniczne,
wystarczy zweryfikować, że jest bijektywne i zachowuje współliniowość
punktów (co uzasadniam w artykule Proste i punkty w świecie
abstrakcji w tym numerze Delty).
Jest zatem oczywiste, że wszystkie homometrie (podobieństwa) są
przekształceniami afinicznymi. Są jednak jeszcze inne przekształcenia afiniczne.
Oto przykłady:

Po lewej stronie widzimy powinowactwo prostokątne, a po prawej pochylenie. Jeśli zaznaczona prosta ma równanie to dla powinowactwa prostokątnego mamy ( jest współczynnikiem przekształcenia), a dla pochylenia
Niech i będą niezdegenerowanymi trójkątami. Niech będzie
homometrią, która przekształca odcinek w odcinek a punkt w pewien punkt Przez oznaczmy powinowactwo prostokątne względem
prostej które punkt przekształca w taki punkt że Na koniec niech będzie pochyleniem względem prostej dla którego Przekształcenie afiniczne przeprowadza punkty w punkty, odpowiednio, więc każdy trójkąt można afinicznie przekształcić w każdy inny. Co więcej, jest to jedyne takie przekształcenie, gdyż jeśli i to
Niech będzie skalą homometrii a współczynnikiem
powinowactwa prostokątnego Wówczas przekształci figurę o polu w figurę o polu Wynika z tego, że przekształcenia afiniczne zachowują proporcję pól.
Jeśli założenia i teza pewnego twierdzenia nie zmieniają się po zastosowaniu do nich przekształcenia afinicznego, to nazywamy je afinicznym. Takie twierdzenie wystarczy udowodnić dla jednej, najwygodniejszej konfiguracji geometrycznej i jest ono wówczas dowiedzione dla każdej konfiguracji, która jest z nią afiniczna.
Prosty przykład: środkowe trójkąta dzielą go na sześć trójkątów o równych polach. Jest to twierdzenie afiniczne, gdyż po przekształceniu afinicznym środkowe pozostają środkowymi (zachowanie współliniowości i proporcji na prostej) oraz trójkąty o równych polach są przekształcone właśnie na takie trójkąty. Wystarczy więc wykazać je dla trójkąta równobocznego, bo każdy trójkąt jest afiniczny z każdym, w szczególności z równobocznym. A środkowe dzielą trójkąt równoboczny na sześć trójkątów przystających.
Zadania
1. Dany jest trójkąt Na odcinku leżą punkty i spełniające równość Analogiczną własność mają punkty i na odcinku oraz i na odcinku Wykazać, że trójkąty i mają równe pola.
Wystarczy wykazać to dla trójkąta równobocznego Można obliczyć stosując wzór i analogiczne dla pozostałych trójkątów. Tak samo obliczamy
2. Na bokach trójkąta leżą punkty, odpowiednio, ; zachodzi ponadto równość Udowodnić, że trójkąty oraz trójkąt wyznaczony przez proste mają wspólny środek ciężkości.
Również wystarczy przeprowadzić dowód dla trójkąta równobocznego Aby się przekonać, że pozostałe dwa trójkąty też są równoboczne i mają ten sam środek co wystarczy obrócić trójkąt o wokół jego środka.
3. Dany jest równoległobok Na odcinkach leżą,
odpowiednio, punkty przy czym
Prosta
przechodzi przez punkt Prosta przechodzi przez punkt
Prosta przechodzi przez punkt Dowieść, że proste przecinają się w jednym punkcie.
Każdy równoległobok jest afiniczny z kwadratem przez złożenie właściwego pochylenia i powinowactwa prostokątnego. W przypadku gdy jest kwadratem, można wykazać, że każde dwie spośród prostych przecinają się na okręgu opisanym na tym kwadracie.
4. Na boku trójkąta wybrano punkt Punkt jest środkiem odcinka Odcinki i przecinają się w punkcie Punkt jest środkiem odcinka natomiast punkt leży na odcinku i spełnia równość Dowieść, że
Można zastosować przekształcenie afiniczne, które trójkąt przekształca w trójkąt równoramienny z kątem prostym przy wierzchołku Wtedy punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie więc co prowadzi do