Delta 7/2024

Hiperboliczna geometria przestrzeni kół

W Internecie łatwo można znaleźć quizy, których rozwiązanie pozwala odpowiedzieć na ważne pytania: z którą księżniczką Disneya mogę się utożsamiać?, które warzywo najlepiej mnie opisuje?, do którego z czterech domów Hogwartu pasuję? Postanowiłem dodać swoje trzy grosze, pytając Czytelników Delty o geometrię przestrzeni kół. Rzecz jest subiektywna, więc nie ma złych odpowiedzi. Zdajmy się więc na Tiarę Przydziału!

W poniższych pytaniach przez d(P,Q) należy rozumieć odległość między kołami P i Q. Z podanych odpowiedzi wybieramy tę, która według nas najlepiej opisuje sytuację na rysunkach niżej. O przydziale decyduje wybrany symbol; może się okazać, że pasuje więcej niż jeden dom.

Pytanie 1

image

  1. d(A,B)=d(C,D)

  2. d(A,B)=2d(C,D)

  3. inna odpowiedź

Pytanie 2

image

  • d(E,F)=d(F,G)

  • d(E,F)=2d(F,G)

  • obie powyższe odpowiedzi, gdyż d(E,F)=0=d(F,G)

  • inna odpowiedź

Sprawdź swój wynik!

Hufflepuff! Twoje rozumienie odległości między kołami trudno uchwycić poprzez proste zależności, ale na pewno okaże się ono przydatne w momencie, w którym świat magii będzie tego najbardziej potrzebował. Tak trzymaj!

Gryffindor! Bardzo możliwe, że przez odległość d(P,Q) rozumiesz długość najkrótszego odcinka łączącego jakiś punkt uP z jakimś punktem vQ (rys. 1). Wtedy d(A,B)=2, d(C,D)=1, natomiast dowolne dwie przecinające się koła są w zerowej odległości. Brawo! Pamiętaj tylko, że tak określona odległość nie jest metryką, czyli nie mierzy, jak bardzo dwa koła się różnią – dwa koła mogą się różnić diametralnie, a nadal być odległe o 0.

Ravenclaw! Niewykluczone, że Twoje rozumienie d(P,Q) pokrywa się z odległością zdefiniowaną przez Felixa Hausdorffa (1868–1942). Mierzysz, o ile trzeba powiększyć koło P, żeby pochłonęło Q, potem odwrotnie – o ile należy powiększyć Q – a na koniec wybierasz większą z tych dwóch wielkości (rys. 2). Wtedy d(A,B)=6, d(C,D)=3 oraz d(E,F)=2, d(F,G)=1. Świetnie!

Dzięki opisanej tu metryce Hausdorffa można mierzyć odległość między rozmaitymi zbiorami, ale w przypadku kół łatwo ją wyrazić jawnym wzorem. Jeśli dane są koła P=B(p,r1) i Q=B(q,r2) (p,q to ich środki, a r1,r2 – promienie), to widać, że najmniejsze koło o środku w p i zawierające Q ma promień |pq|+r2; koło P trzeba więc powiększyć o |pq|+r2r1 (lub 0, jeśli ta liczba jest ujemna). Podobnie koło Q trzeba powiększyć o max(0,|pq|+r1r2), jako większą z tych liczb otrzymujemy więc d(P,Q)=|pq|+|r1r2|.

Pojęcie odległości (bardziej fachowo: metryki) pozwala myśleć o zbiorze wszystkich kół na płaszczyźnie jako o przestrzeni, a o kołach jako o jej punktach. Jest jasne, że odległość Hausdorffa d(P,Q) jest zerowa jedynie wtedy, gdy koła P i Q są identyczne; spełniona jest też nierówność trójkąta: d(P,Q)d(P,S)+d(S,Q) dla wszystkich P,Q,S (zad. 1). Te własności powodują, że d można śmiało wykorzystywać do opisu geometrii przestrzeni kół.

Okazuje się, że jest to geometria dobrze nam znana. Przyporządkujmy mianowicie kołu B(p,r)R2 (o środku w p=(p1,p2)) trójkę liczb (p1,p2,r), a więc punkt w górnej połowie przestrzeni R3. Pomijając jeden wymiar, możemy wtedy reprezentować przestrzeń kół jak na rysunku 3. Możemy też zilustrować wybraną metrykę, wybierając punkt P (czyli jakieś koło) i promień R>0, a następnie rysując obszar odpowiadający wszystkim punktom-kołom odległym od P o najwyżej R (rys. 4). Jak wspomniałem, na rysunku brakuje jednego wymiaru, a w rzeczywistości taki obszar ma kształt podwójnego stożka. Jeśli jednak chcieć interpretować dosłownie rysunki 3 i 4, to są one reprezentacją przestrzeni odcinków postaci (pr,p+r)R z metryką Hausdorffa; odcinki takie są jednowymiarowym odpowiednikiem kół.

Tutaj należy nadmienić, że odcinki w R, koła w R2, kule w R3 oraz obszary jak te z rysunku 4 obejmujemy wspólną nazwą kul. W każdym z przypadków mamy bowiem do czynienia ze zbiorem wszystkich punktów odległych od zadanego punktu p o najwyżej r – zmianie ulega jedynie sens słów punktodległość.

Zanim przejdziemy do ostatniej możliwości, wspomnijmy o tak zwanej odległości euklidesowej: d(P,Q)=|pq|2+|r1r2|2 dla P=B(p,r1), Q=B(q,r2). Choć różni się ona od odległości Hausdorffa, to są one porównywalne (jedna nigdy nie przekracza dwukrotności drugiej) i obie prowadzą do udzielenia dwóch odpowiedzi . Geometria związana z odległością euklidesową jest za to dużo bogatsza; z tego też powodu używamy jej na co dzień.

Slytherin! Najwyraźniej uznajesz, że zastosowanie jednokładności nie zmienia odległości między kołami. Jeśli więc koła C,D tworzą konfigurację taką jak A,B, tylko w dwa razy mniejszej skali, to są w tej samej odległości; podobnie mają się E,F do F,G. W wielu problemach geometrycznych taki punkt widzenia się opłaca, wszak wszelkie jakościowe zależności – rozłączność, zawieranie, styczność dwóch kół etc. – nie zależą od skali. Jak przekonuje Stephen Semmes, idea ta jest też pożyteczna w analizie matematycznej. Jesteś w dobrym towarzystwie!

Interesująca nas metryka nie jest tak łatwa w opisie, ale jak się przekonamy, zawiera w sobie klucz do Komnaty Tajemnic – geometrii hiperbolicznej.

O metryce Ślizgonów.

Żeby ją znaleźć, spróbujmy przeformułować metrykę Hausdorffa w sposób niezmienniczy ze względu na skalowanie: zamiast patrzeć, o ile trzeba powiększyć koło P dla pokrycia Q, zbadamy, ilukrotnie trzeba je powiększyć. Jeśli jak poprzednio przyjmiemy P=B(p,r1), Q=B(q,r2), to tym czynnikiem jest α1=|pq|+r2r1; symetrycznie określamy α2 jako skalę powiększenia Q. Wydaje się naturalne, że za odległość przyjmuje się większą z liczb α1,α2, ale wynik takiej operacji jest zawsze nie mniejszy od 1, nawet gdy P=Q. Sytuację można poprawić na różne sposoby, na przykład od max(α1,α2) odejmując jedynkę, jednak zobaczymy, że najlepiej jest wziąć logarytm (powiedzmy, że naturalny). Prowadzi to do następującej metryki: ()d(P,Q)=log(|pq|+max(r1,r2)min(r1,r2))=log(1+|pq|+|r1r2|min(r1,r2)). Geometria opisana odległością zdefiniowaną wyżej nosi nazwę geometrii hiperbolicznej. W pozostałej części artykułu przyjrzymy się jej bliżej.

Odnotujmy na początek, że d(A,B)=log(3)=d(C,D) oraz d(E,F)=log(2)=d(F,G), co potwierdza wybór dwóch . Ogólną ilustrację wybranej metryki widzimy na rysunku 5. Nie powinno nas dziwić, że zaznaczone obszary (,,kule”) nie dochodzą do prostej r=0. Prosta ta jest ,,nieskończenie daleko” z punktu widzenia naszej metryki. Dlatego też, chociaż modelem przestrzeni kół jest dla nas półprzestrzeń – lub półpłaszczyzna, jeśli badamy przypadek jednowymiarowy – to interesująca nas przestrzeń jest nazywana przestrzenią hiperboliczną, a wymiar niżej – płaszczyzną hiperboliczną. Czytelnikowi polecam samodzielnie poeksperymentować z pomocą komputera i zaobserwować, jakie kształty da się otrzymać, rozważając obszary jak na rysunku 5. Warto też sprawdzić, że spełniona jest nierówność trójkąta (zad. 2).

Rzut oka na geodezyjne.

Rozważmy następujący problem: dla kół P,Q z rysunku 6 (o promieniu 1 i środkach odległych o 12) wskazać koła S1,S2 w taki sposób, by długość łamanej [P,S1,S2,Q] – mierzona jako suma odległości między kolejnymi wierzchołkami łamanej – była najmniejsza. Na rysunku 6 od razu widać narzucające się rozwiązanie: za S1,S2 przyjmujemy koła jednostkowe położone w równych odstępach między P,Q; na półpłaszczyźnie ilustrującej przestrzeń kół odpowiada to ,,prostej” łamanej. Jej łączna długość to 3log(1+4), czyli log(125).

Ale da się lepiej! Optymalnym rozwiązaniem okazują się koła o tych samych środkach, ale promieniu 2 (rys. 7). Taka łamana ma długość 2log(4+2)+log(4+22), czyli log(108). To oczywiście nieznacznie mniej, jednak łatwo znaleźć bardziej jaskrawe przykłady. Gdyby koła P,Q rozsunąć na odległość d>12, to optymalnym rozwiązaniem są koła S1,S2 o promieniu d/6 położone w równych odstępach; dla dużych d daje to łamaną niemal 32-krotnie krótszą niż ta ,,prosta”. Gdybyśmy natomiast nasze zadanie zmienili, każąc szukać łamanej o większej liczbie wierzchołków, to zauważylibyśmy przepaść między rozwiązaniem ,,prostym” a optymalnym.

Standardowa metryka hiperboliczna.

Jest wiele przykładów pozwalających uzmysłowić sobie różnicę między geometrią euklidesową a hiperboliczną; jeden można znaleźć na marginesie. Większość z nich wymaga jednak bardziej wyrafinowanej metryki niż ta opisana wzorem (), którą od teraz dla odróżnienia będziemy oznaczać przez d.

Tę ,,lepszą” metrykę opiszę w oparciu o analogię optyczną. Oderwijmy się od przestrzeni kół i rozważmy światło rozchodzące się w półpłaszczyźnie y>0 (choć tę samą konstrukcję można powtórzyć w dowolnym wymiarze). Jeśli przyjmiemy, że jego prędkość jest stała i wszędzie wynosi 1, to czas, w którym światło pokonuje daną krzywą, jest po prostu długością tej krzywej. Pokonując drogę z punktu p do q, światło zgodnie z zasadą Fermata ,,wybiera” najszybszą drogę, czyli odcinek łączący te punkty, i zabiera mu to |pq| czasu – jest to metryka euklidesowa. Wyobraźmy teraz sobie, że półpłaszczyzna y>0 jest wypełniona niejednorodnym ośrodkiem, a w punkcie (x,y) światło ma prędkość y. Wtedy najszybsza droga z punktu do punktu, nazywana krzywą geodezyjną, zazwyczaj nie prowadzi po odcinku (rys. 9). Czas potrzebny na dotarcie z p do q oznaczymy przez dH(p,q) i to jest właśnie standardowa metryka hiperboliczna. Da się ją wyrazić wzorem: dH(p,q)=log(|pq|+|pq||pq||pq|),   gdzie (x,y)=(x,y). Do metryki d ma się mniej więcej tak, jak metryka euklidesowa ma się do tej danej wzorem |x1x2|+|y1y2|. Są one porównywalne – wyniki pomiarów dHd różnią się najwyżej dwukrotnie – ale dH ma szereg przewag. Kule w tej metryce – czyli obszary analogiczne do tych z rysunków 4 i 5 – mają gładki kształt, a dokładnie są kołami (rys. 8). Łatwo wykaże to Czytelnik znający okręgi Apoloniusza (zob. DeltoidΔ131). Krzywe geodezyjne przyjmują kształt pionowych półprostych oraz półokręgów o średnicy leżącej na osi x (rys. 9) – to z kolei Czytelnik może wyprowadzić z prawa załamania światła. Kształt geodezyjnych nie powinien zaskakiwać, bo światło ,,omija” obszar niższej prędkości. Jednocześnie wyjaśnia on fenomen zakrzywienia optymalnych łamanych, który widzieliśmy wcześniej.

Po wizycie w Komnacie Tajemnic Czytelnik jest dobrze przygotowany, by samodzielnie zgłębiać dalsze tajniki geometrii hiperbolicznej. Oczywiście warto zacząć od Delty – pod hasłami płaszczyzna hiperboliczna czy też Bolyai–Łobaczewskiego – ale możliwe jest też doświadczenie tej geometrii niejako od środka, poprzez gry komputerowe oparte na geometrii hiperbolicznej: HyperRogueHyperbolica.