W Internecie łatwo można znaleźć quizy, których rozwiązanie pozwala odpowiedzieć na ważne pytania: z którą księżniczką Disneya mogę się utożsamiać?, które warzywo najlepiej mnie opisuje?, do którego z czterech domów Hogwartu pasuję? Postanowiłem dodać swoje trzy grosze,
pytając Czytelników Delty o geometrię przestrzeni kół. Rzecz jest subiektywna, więc nie ma złych odpowiedzi. Zdajmy się więc na Tiarę Przydziału!
W poniższych pytaniach przez należy rozumieć odległość między kołami i Z podanych odpowiedzi wybieramy tę, która według nas najlepiej opisuje sytuację na rysunkach niżej. O przydziale decyduje wybrany symbol; może się okazać, że pasuje więcej niż jeden dom.
Pytanie 1
inna odpowiedź
Pytanie 2
Sprawdź swój wynik!
Hufflepuff! Twoje rozumienie odległości między kołami trudno uchwycić poprzez proste zależności, ale na pewno okaże się ono przydatne w momencie, w którym świat magii będzie tego najbardziej potrzebował. Tak trzymaj!
Gryffindor!
Bardzo możliwe, że przez odległość rozumiesz długość najkrótszego odcinka łączącego jakiś punkt z jakimś punktem (rys. 1). Wtedy natomiast dowolne dwie przecinające się koła są w zerowej odległości. Brawo! Pamiętaj tylko, że tak określona odległość nie jest metryką, czyli nie mierzy, jak bardzo dwa koła się różnią – dwa koła mogą się różnić diametralnie, a nadal być odległe o
Ravenclaw!
Niewykluczone, że Twoje rozumienie pokrywa się z odległością zdefiniowaną przez Felixa Hausdorffa (1868–1942). Mierzysz, o ile trzeba powiększyć koło żeby pochłonęło potem odwrotnie – o ile należy powiększyć – a na koniec wybierasz większą z tych dwóch wielkości (rys. 2). Wtedy oraz Świetnie!
Dzięki opisanej tu metryce Hausdorffa można mierzyć odległość między rozmaitymi zbiorami, ale w przypadku kół łatwo ją wyrazić jawnym wzorem. Jeśli dane są koła i ( to ich środki, a – promienie), to widać, że najmniejsze koło o środku w i zawierające ma promień ; koło trzeba więc powiększyć o (lub jeśli ta liczba jest ujemna). Podobnie koło trzeba powiększyć o jako większą z tych liczb otrzymujemy więc
Pojęcie odległości (bardziej fachowo: metryki)
pozwala myśleć o zbiorze wszystkich kół na płaszczyźnie jako o przestrzeni, a o kołach jako o jej punktach. Jest jasne, że odległość Hausdorffa jest zerowa jedynie wtedy, gdy koła i są identyczne; spełniona jest też nierówność trójkąta: dla wszystkich (zad. 1). Te własności powodują, że można śmiało wykorzystywać do opisu geometrii przestrzeni kół.
Okazuje się, że jest to geometria dobrze nam znana.
Przyporządkujmy mianowicie kołu (o środku w ) trójkę liczb a więc punkt w górnej połowie przestrzeni Pomijając jeden wymiar,
możemy wtedy reprezentować przestrzeń kół jak na rysunku 3. Możemy też zilustrować wybraną metrykę, wybierając punkt (czyli jakieś koło) i promień a następnie rysując obszar odpowiadający wszystkim punktom-kołom odległym od o najwyżej (rys. 4). Jak wspomniałem, na rysunku brakuje jednego wymiaru, a w rzeczywistości taki obszar ma kształt podwójnego stożka.
Jeśli jednak chcieć interpretować dosłownie rysunki 3 i 4, to są one reprezentacją przestrzeni odcinków postaci z metryką Hausdorffa; odcinki takie są jednowymiarowym odpowiednikiem kół.
Tutaj należy nadmienić, że odcinki w koła w kule w oraz obszary jak te z rysunku 4 obejmujemy wspólną nazwą kul. W każdym z przypadków mamy bowiem do czynienia ze zbiorem wszystkich punktów odległych od zadanego punktu o najwyżej – zmianie ulega jedynie sens słów punkt i odległość.
Zanim przejdziemy do ostatniej możliwości, wspomnijmy o tak zwanej odległości euklidesowej: dla Choć różni się ona od odległości Hausdorffa, to są one porównywalne (jedna nigdy nie przekracza dwukrotności drugiej) i obie prowadzą do udzielenia dwóch odpowiedzi . Geometria związana z odległością euklidesową jest za to dużo bogatsza; z tego też powodu używamy jej na co dzień.
Slytherin! Najwyraźniej uznajesz, że zastosowanie jednokładności nie zmienia odległości między kołami. Jeśli więc koła tworzą konfigurację taką jak tylko w dwa razy mniejszej skali, to są w tej samej odległości; podobnie mają się do W wielu problemach geometrycznych
taki punkt widzenia się opłaca, wszak wszelkie jakościowe zależności – rozłączność, zawieranie, styczność dwóch kół etc. – nie zależą od skali. Jak przekonuje Stephen Semmes, idea ta jest też pożyteczna w analizie matematycznej. Jesteś w dobrym towarzystwie!
Interesująca nas metryka nie jest tak łatwa w opisie, ale jak się przekonamy, zawiera w sobie klucz do Komnaty Tajemnic – geometrii hiperbolicznej.
O metryce Ślizgonów.
Żeby ją znaleźć, spróbujmy przeformułować metrykę Hausdorffa w sposób niezmienniczy ze względu na skalowanie: zamiast patrzeć, o ile trzeba powiększyć koło dla pokrycia zbadamy, ilukrotnie trzeba je powiększyć. Jeśli jak poprzednio przyjmiemy to tym czynnikiem jest ; symetrycznie określamy jako skalę powiększenia Wydaje się naturalne, że za odległość przyjmuje się większą z liczb ale wynik takiej operacji jest zawsze nie mniejszy od nawet gdy Sytuację można poprawić na różne sposoby, na przykład od odejmując jedynkę, jednak zobaczymy, że najlepiej jest wziąć logarytm (powiedzmy, że naturalny). Prowadzi to do następującej metryki:
Geometria opisana odległością zdefiniowaną wyżej nosi nazwę geometrii hiperbolicznej. W pozostałej części artykułu przyjrzymy się jej bliżej.
Odnotujmy na początek, że oraz co potwierdza wybór dwóch .
Ogólną ilustrację wybranej metryki widzimy na rysunku 5. Nie powinno nas dziwić, że zaznaczone obszary (,,kule”) nie dochodzą do prostej Prosta ta jest ,,nieskończenie daleko” z punktu widzenia naszej metryki. Dlatego też, chociaż modelem przestrzeni kół jest dla nas półprzestrzeń – lub półpłaszczyzna, jeśli badamy przypadek jednowymiarowy – to interesująca nas przestrzeń jest nazywana przestrzenią hiperboliczną, a wymiar niżej – płaszczyzną hiperboliczną.
Czytelnikowi polecam samodzielnie poeksperymentować z pomocą komputera i zaobserwować, jakie kształty da się otrzymać, rozważając obszary jak na rysunku 5.
Warto też sprawdzić, że spełniona jest nierówność trójkąta (zad. 2).
Rzut oka na geodezyjne.
Rozważmy następujący problem:
dla kół z rysunku 6 (o promieniu i środkach odległych o ) wskazać koła w taki sposób, by długość łamanej – mierzona jako suma odległości między kolejnymi wierzchołkami łamanej – była najmniejsza.
Na rysunku 6 od razu widać narzucające się rozwiązanie: za przyjmujemy koła jednostkowe położone w równych odstępach między ; na półpłaszczyźnie ilustrującej przestrzeń kół odpowiada to ,,prostej” łamanej. Jej łączna długość to czyli
Ale da się lepiej!
Optymalnym rozwiązaniem okazują się koła o tych samych środkach, ale promieniu (rys. 7). Taka łamana ma długość czyli To oczywiście nieznacznie mniej, jednak łatwo znaleźć bardziej jaskrawe przykłady. Gdyby koła rozsunąć na odległość to optymalnym rozwiązaniem są koła o promieniu położone w równych odstępach; dla dużych daje to łamaną niemal -krotnie krótszą niż ta ,,prosta”. Gdybyśmy natomiast nasze zadanie zmienili, każąc szukać łamanej o większej liczbie wierzchołków, to zauważylibyśmy przepaść między rozwiązaniem ,,prostym” a optymalnym.
Standardowa metryka hiperboliczna.
Jest wiele przykładów pozwalających
uzmysłowić sobie różnicę między geometrią euklidesową a hiperboliczną; jeden można znaleźć na marginesie. Większość z nich wymaga jednak bardziej wyrafinowanej metryki niż ta opisana wzorem , którą od teraz dla odróżnienia będziemy oznaczać przez
Tę ,,lepszą” metrykę opiszę w oparciu o analogię optyczną. Oderwijmy się od przestrzeni kół i rozważmy światło rozchodzące się w półpłaszczyźnie (choć tę samą konstrukcję można powtórzyć w dowolnym wymiarze). Jeśli przyjmiemy, że
jego prędkość jest stała i wszędzie wynosi
to czas, w którym światło pokonuje daną krzywą, jest po prostu długością tej krzywej. Pokonując drogę z punktu do światło zgodnie z zasadą Fermata ,,wybiera” najszybszą drogę, czyli odcinek łączący te punkty, i zabiera mu to czasu – jest to metryka euklidesowa. Wyobraźmy teraz sobie, że półpłaszczyzna jest wypełniona niejednorodnym ośrodkiem, a w punkcie światło ma prędkość Wtedy najszybsza droga z punktu do punktu, nazywana krzywą geodezyjną, zazwyczaj nie prowadzi po odcinku (rys. 9). Czas potrzebny na dotarcie z do oznaczymy przez i to jest właśnie standardowa metryka hiperboliczna. Da się ją wyrazić wzorem:
Do metryki ma się mniej więcej tak,
jak metryka euklidesowa ma się do tej danej wzorem Są one porównywalne – wyniki pomiarów i różnią się najwyżej dwukrotnie – ale ma szereg przewag.
Kule w tej metryce – czyli obszary analogiczne do tych z rysunków 4 i 5 – mają gładki kształt, a dokładnie są kołami (rys. 8). Łatwo wykaże to Czytelnik znający okręgi Apoloniusza (zob. Deltoid w ). Krzywe geodezyjne
przyjmują kształt pionowych półprostych oraz półokręgów o średnicy leżącej na osi (rys. 9) – to z kolei Czytelnik może wyprowadzić z prawa załamania światła. Kształt geodezyjnych nie powinien zaskakiwać, bo światło ,,omija” obszar niższej prędkości. Jednocześnie wyjaśnia on fenomen zakrzywienia optymalnych łamanych, który widzieliśmy wcześniej.
Po wizycie w Komnacie Tajemnic Czytelnik jest dobrze przygotowany, by samodzielnie zgłębiać dalsze tajniki geometrii hiperbolicznej. Oczywiście warto zacząć od Delty – pod hasłami płaszczyzna hiperboliczna czy też Bolyai–Łobaczewskiego – ale możliwe jest też doświadczenie tej geometrii niejako od środka, poprzez gry komputerowe oparte na geometrii hiperbolicznej: HyperRogue i Hyperbolica.