W Internecie łatwo można znaleźć quizy, których rozwiązanie pozwala odpowiedzieć na ważne pytania: z którą księżniczką Disneya mogę się utożsamiać?, które warzywo najlepiej mnie opisuje?, do którego z czterech domów Hogwartu pasuję? Postanowiłem dodać swoje trzy grosze, pytając Czytelników Delty o geometrię przestrzeni kół. Rzecz jest subiektywna, więc nie ma złych odpowiedzi. Zdajmy się więc na Tiarę Przydziału!
W poniższych pytaniach przez
Pytanie 1
inna odpowiedź
Pytanie 2
obie powyższe odpowiedzi, gdyż
inna odpowiedź
Sprawdź swój wynik!
Dzięki opisanej tu metryce Hausdorffa można mierzyć odległość między rozmaitymi zbiorami, ale w przypadku kół łatwo ją wyrazić jawnym wzorem. Jeśli dane są koła
Pojęcie odległości (bardziej fachowo: metryki)
pozwala myśleć o zbiorze wszystkich kół na płaszczyźnie jako o przestrzeni, a o kołach jako o jej punktach. Jest jasne, że odległość Hausdorffa
Okazuje się, że jest to geometria dobrze nam znana.
Przyporządkujmy mianowicie kołu
Tutaj należy nadmienić, że odcinki w
Zanim przejdziemy do ostatniej możliwości, wspomnijmy o tak zwanej odległości euklidesowej:
Interesująca nas metryka nie jest tak łatwa w opisie, ale jak się przekonamy, zawiera w sobie klucz do Komnaty Tajemnic – geometrii hiperbolicznej.
O metryce Ślizgonów.
Żeby ją znaleźć, spróbujmy przeformułować metrykę Hausdorffa w sposób niezmienniczy ze względu na skalowanie: zamiast patrzeć, o ile trzeba powiększyć koło
Odnotujmy na początek, że
Rzut oka na geodezyjne.
Rozważmy następujący problem:
dla kół
Ale da się lepiej!
Optymalnym rozwiązaniem okazują się koła o tych samych środkach, ale promieniu
Standardowa metryka hiperboliczna.
Jest wiele przykładów pozwalających
uzmysłowić sobie różnicę między geometrią euklidesową a hiperboliczną; jeden można znaleźć na marginesie. Większość z nich wymaga jednak bardziej wyrafinowanej metryki niż ta opisana wzorem
Tę ,,lepszą” metrykę opiszę w oparciu o analogię optyczną. Oderwijmy się od przestrzeni kół i rozważmy światło rozchodzące się w półpłaszczyźnie
Po wizycie w Komnacie Tajemnic Czytelnik jest dobrze przygotowany, by samodzielnie zgłębiać dalsze tajniki geometrii hiperbolicznej. Oczywiście warto zacząć od Delty – pod hasłami płaszczyzna hiperboliczna czy też Bolyai–Łobaczewskiego – ale możliwe jest też doświadczenie tej geometrii niejako od środka, poprzez gry komputerowe oparte na geometrii hiperbolicznej: HyperRogue i Hyperbolica.
Afiliacja: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW
Rys. 1. Według typowego Gryfona powyższe koła są odległe ogdyż taką długość ma najkrótszy odcinek je łączący
Rys. 2. Żeby lewe koło pokryło prawe, trzeba zwiększyć promień onatomiast żeby prawe pokryło lewe – aż Według Krukonów koła te są więc odległe o
Zadanie 1. Uzasadnić, że jeśli
oraz to Wywnioskować, że nierówność trójkąta jest spełniona dla metryki Hausdorffa.
Rys. 3. Punktreprezentuje pewne koło, a obszar zaznaczony powyżej niego odpowiada wszystkim kołom zawierającym Podobnie punkt to koło o dwukrotnie mniejszym promieniu niż a obszar poniżej to wszystkie koła zawierające się w
Rys. 4. Zaznaczono wszystkie koła odległe (w metryce Hausdorffa) odo najwyżej oraz te odległe od o najwyżej
Więcej o pożytkach z rozpatrywania odległości niezależnej od skali:
Stephen Semmes, Metric Spaces and Mappings Seen at Many Scales, str. 401–404 załącznika B w:
Michaił Gromow, Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces, Birkhäuser, 2007.
Rys. 5. Zaznaczono koła odległe (w metryce opisanej wzorem) od o najwyżej oraz te odległe od o najwyżej
Zadanie 2. Uzasadnić, że jeśli
oraz to Wywnioskować, że nierówność trójkąta jest spełniona dla metryki .
Rys. 6. Środki kół jednostkowychsą odległe o Zaproponowana łamana łącząca i ma długość
Rys. 7. Najkrótsza trzyczęściowa łamana łączącai ma długość Wykorzystuje ona koła o tych samych środkach co poprzednio, ale dwukrotnie większym promieniu
Przykład. Jeśli ustalimy koło
i rozważymy wszystkie koła odległe od niego o to da się wśród nich znaleźć (dla dużych ) około kół wzajemnie odległych o co najmniej Warto to zestawić z geometrią euklidesową, w której okrąg o promieniu ma długość więc punktów oddzielonych o jest jedynie około
Opisaną obok analogię optyczną wymyślił w 1696 roku Johann Bernoulli. Wykorzystał ją do znalezienia kształtu brachistochrony, przyjmując prędkość światła w
proporcjonalną do Rozwiązanie to można zobaczyć na kanale 3Blue1Brown na YouTubie:
The Brachistochrone, with Steven Strogatz, youtu.be/Cld0p3a43fU.
Rys. 8. Kule w metryce: o środku i promieniu ; o środku i promieniu Warto odnotować, że są podobne kształtem i rozmiarem do kul w metryce (rys. 5)
Rys. 9. Krzywe geodezyjne prowadzą z punktudo i