Delta 12/2024

„Wodny” dowód twierdzenia Picka

Jarosław Górnicki

matematyka geometria kombinatoryka teoria liczb

Georg Alexander Pick (1859–1942) był austriackim matematykiem żydowskiego pochodzenia. W latach 1884–1927 pracował na Uniwersytecie Karola w Pradze. Od 1888 roku był profesorem, a od 1889 członkiem Niemieckiej Akademii Nauk Leopoldina. Utrzymywał kontakty z Albertem Einsteinem i Felixem Kleinem. Zajmował się analizą zespoloną, równaniami różniczkowymi, całkowymi oraz geometrią różniczkową. W lipcu 1942 roku został wywieziony do obozu koncentracyjnego Theresienstadt, gdzie zmarł dwa tygodnie później.

W matematyce Georg Pick znany jest między innymi jako autor pewnego prostego a pięknego twierdzenia dotyczącego kraty, czyli zbioru $Z^{2} = {(m, n) : m, n \in Z}$ na płaszczyźnie euklidesowej $R^{2} .$ Elementy tego zbioru będziemy nazywać punktami kratowymi.

Twierdzenie (G. Pick, 1899). Pole wielokąta $W,$ którego wierzchołki są punktami kratowymi, a boki nie przecinają się, jest równe $| W | = p_{w} + \frac{1}{2} p_{b} - 1,$ gdzie $p_{w}$ jest liczbą punktów kratowych we wnętrzu wielokąta, zaś $p_{b}$ liczbą punktów kratowych na jego brzegu.

Oto pomysłowy dowód przez… lanie wody (dosłownie), przedstawiony przez szwajcarskiego matematyka Christiana Blattera w 1997 roku. W każdym punkcie poziomej kraty $Z^{2}$ umieszczamy bryłkę lodu o objętości 1. Bryłki mają kształt cienkich cylindrów (środki podstaw są punktami kratowymi). Następnie czekamy, aż lód się stopi. Woda równomiernie rozleje się na niewsiąkliwej płaszczyźnie, tworząc nieskończony ocean o głębokości 1 (pomijamy parowanie oraz różnice w gęstości wody i lodu). Wtedy objętość wody nad obszarem wielokąta $W$ jest, co do wartości liczbowej, równa powierzchni wielokąta $W .$ Ale skąd weźmie się woda nad wielokątem? W trakcie topnienia lodu część wody do niego dopływa, a część wypływa. Zauważmy, że środek dowolnie wybranego boku wielokąta $W$ jest środkiem symetrii kraty $Z^{2},$ więc w każdej chwili przepływ wody jest centralnie symetryczny względem tego środka. Zatem całkowity przepływ wody przez tę krawędź wielokąta (więc i każdą inną) jest zerowy. Oznacza to, że ilość wody nad obszarem wielokąta nie zmienia się w czasie! Możemy teraz przyjąć, że bryłki były na tyle cienkie, iż woda nad obszarem wielokąta pochodzi jedynie z bryłek lodu umieszczonych w punktach kratowych we wnętrzu lub na brzegu wielokąta $W .$ Każdy punkt kraty leżący wewnątrz wielokąta ,,daje” jednostkę wody. Punkt kratowy znajdujący się wewnątrz krawędzi (niebędący jej końcem) ,,daje” pół jednostki wody, a wierzchołek ,,daje” $\frac{α}{2 π}$ jednostki wody, gdzie $α$ jest miarą kąta wewnętrznego wielokąta przy tym wierzchołku. Ponieważ suma miar kątów wewnętrznych $n$ -kąta $(n ⩾ 3)$ jest równa $(n - 2) π,$ więc ich całkowity udział zapewnia $\frac{(n - 2) π}{2 π} = \frac{n}{2} - 1$ jednostek wody. Stąd teza twierdzenia. $◻$

Wniosek 1. Trójkąt o wierzchołkach w punktach kratowych, który we wnętrzu ani na brzegu nie ma innych punktów kratowych, ma pole równe $\frac{1}{2} .$

Twierdzenie Picka nie ma rozszerzenia na kratę $Z^{3} .$ Pokazuje to przykład J.E. Reeve’a (1957). Czworościany z rysunku 1 mają 4 wierzchołki w punktach kratowych, nie zawierają innych punktów kratowych, ale mają różne objętości.

Wykorzystamy teraz powyższy wniosek, aby wykazać podstawową własność tzw. ciągów Fareya.

Przypomnijmy, ciągiem Fareya rzędu $n \in N$ (oznaczenie $f_{n}$ ) nazywamy uporządkowany rosnąco ciąg ułamków nieskracalnych z przedziału $[0, 1]$ o mianownikach nie większych od $n,$ np.: $\begin{aligned} f_{1} : & {\frac{0}{1}, \frac{1}{1}}, f_{2} : {\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}}, f_{3} : {\frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1}}, \\ f_{4} : & {\frac{0}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{1}}, f_{5} : {\frac{0}{1}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{1}{1}}, \\ f_{6} : & {\frac{0}{1}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{1}{1}} itd. \end{aligned}$ Oczywiście $f_{n} \subset f_{n + 1},$ $n = 1, 2, \dots$

John Farey (senior) (1766–1826), angielski geolog zainteresowany ,,matematyką dźwięków”, w 1816 roku zadał pytanie: czy dla trzech kolejnych wyrazów ciągu $f_{n}$ ( $n ⩾ 2$ ), $\frac{a}{b} < \frac{p}{q} < \frac{c}{d}$ zawsze prawdziwa jest równość $\frac{p}{q} = \frac{a + c}{b + d}$ ? W tym samym roku Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) potwierdził – jak pisał – ,,niezwykłą właściwość zwykłych ułamków zaobserwowaną przez pana J. Fareya”.

Lemat (Cauchy–Farey, 1816). Jeżeli $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ są kolejnymi wyrazami ciągu Fareya $f_{n}$ $(n ⩾ 1),$ to $b c - a d = 1.$

Dowód. Punkt $(x, y) \in Z^{2}$ nazywamy widzialnym z punktu $(0, 0),$ gdy na odcinku łączącym te punkty nie ma innych punktów kratowych.

Jeżeli każdy ułamek $\frac{a}{b} \in f_{n}$ utożsamimy z punktem $(b, a) \in Z^{2},$ to punkt $(b, a)$ jest widzialny (bo ułamek $\frac{a}{b}$ jest nieskracalny) i należy do trójkąta $T_{n}$ o wierzchołkach $(0, 0),$ $(n, 0),$ $(n, n) .$ Co więcej, punkt kratowy $(b, a) \in T_{n}$ jest widzialny wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{a}{b} \in f_{n} .$

Wtedy promień wodzący zaczepiony w punkcie $(0, 0)$ i leżący na osi $O X,$ obracając się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, przechodzi przez kolejne punkty widzialne w trójkącie $T_{n},$ reprezentowane przez ułamki $\frac{a}{b} \in f_{n}$ w ich porządku rosnącym. Zatem trójkąt o wierzchołkach $(0, 0),$ $(b, a),$ $(d, c)$ nie zawiera innych punktów kratowych, a więc jego pole jest równe $\frac{1}{2}$ (wniosek 1). Jednocześnie z geometrii analitycznej wiemy, że pole trójkąta, którego wierzchołki mają wyżej dane współrzędne, jest równe $\frac{1}{2} (b c - a d) .$ Stąd $b c - a d = 1 .$ $◻$

Wniosek 2. Jeżeli $\frac{a}{b} < \frac{p}{q} < \frac{c}{d}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu $f_{n},$ $n ⩾ 2,$ to $\frac{p}{q} = \frac{a + c}{b + d} .$

Dowód. Z lematu $b p - a q = 1 = q c - p d,$ skąd wynika teza. $◻$

Ciągi Fareya znalazły zastosowanie w aproksymacji liczb niewymiernych liczbami wymiernymi, znamy ich związek z algorytmem (drzewem) Sterna–Brocota, z hipotezą Riemanna czy z ,,problemem $3 n + 1$ ”. To jest jednak temat na inne spotkanie.

Powyższe zdjęcie Georga Picka zostało wykonane ok. 1885 roku

Dla zaznaczonego wielokąta mamy $p_{w} = 10$ oraz $p_{b} = 7,$ zgodnie z twierdzeniem Picka jego pole jest równe $10 + 3, 5 - 1 = 12, 5$

Christian Blatter, Another Proof of Pick’s Area Theorem, Mathematics Magazine vol. 70, 1997. Sformułowanie autora jest odrobinę inne (mowa w nim o rozchodzeniu się ciepła), pomysł z ,,bryłkami lodu” pochodzi od Güntera M. Zieglera (o czym wspomina przytoczony artykuł).

Rys. 1

Ciągi $f_{n}$ pojawiły się już w 1802 roku w pracach francuskiego geometry Charlesa Harosa, ale nie wzbudziły wówczas zainteresowania.

Rys. 2. Zaznaczone punkty odpowiadają wyrazom ciągu $f_{6},$ przy czym $A = (3, 1)$ i $B = (5, 2)$ odpowiadają dwóm kolejnym wyrazom. Wewnątrz trójkąta $A O B$ nie ma żadnego punktu kratowego, zatem zgodnie ze wzorem Picka jego pole jest równe $\frac{1}{2}$

Kraty $Z^{2}$ pojawiły się np. na stronie 6 oraz w $Δ_{19}^{1}$ , a ciągi Fareya w $Δ_{08}^{6}$ , $Δ_{10}^{5}$ .