„Wodny” dowód twierdzenia Picka

Georg Alexander Pick (1859–1942) był austriackim matematykiem żydowskiego pochodzenia. W latach 1884–1927 pracował na Uniwersytecie Karola w Pradze. Od 1888 roku był profesorem, a od 1889 członkiem Niemieckiej Akademii Nauk Leopoldina. Utrzymywał kontakty z Albertem Einsteinem i Felixem Kleinem. Zajmował się analizą zespoloną, równaniami różniczkowymi, całkowymi oraz geometrią różniczkową. W lipcu 1942 roku został wywieziony do obozu koncentracyjnego Theresienstadt, gdzie zmarł dwa tygodnie później.

W matematyce Georg Pick znany jest między innymi jako autor pewnego prostego a pięknego twierdzenia dotyczącego kraty, czyli zbioru ${\mathbb{Z}}^2=\{(m,n):m,n\in \mathbb{Z}\}$ na płaszczyźnie euklidesowej ${\mathbb{R}}^2.$ Elementy tego zbioru będziemy nazywać punktami kratowymi.

Twierdzenie (G. Pick, 1899). Pole wielokąta $W,$ którego wierzchołki są punktami kratowymi, a boki nie przecinają się, jest równe $$|W|=p_w+\frac{1}{2}{p}_b-1,$$ gdzie $p_w$ jest liczbą punktów kratowych we wnętrzu wielokąta, zaś $p_b$ liczbą punktów kratowych na jego brzegu.

Oto pomysłowy dowód przez… lanie wody (dosłownie), przedstawiony przez szwajcarskiego matematyka Christiana Blattera w 1997 roku. W każdym punkcie poziomej kraty ${\mathbb{Z}}^2$ umieszczamy bryłkę lodu o objętości 1. Bryłki mają kształt cienkich cylindrów (środki podstaw są punktami kratowymi). Następnie czekamy, aż lód się stopi. Woda równomiernie rozleje się na niewsiąkliwej płaszczyźnie, tworząc nieskończony ocean o głębokości 1 (pomijamy parowanie oraz różnice w gęstości wody i lodu). Wtedy objętość wody nad obszarem wielokąta $W$ jest, co do wartości liczbowej, równa powierzchni wielokąta $W.$ Ale skąd weźmie się woda nad wielokątem? W trakcie topnienia lodu część wody do niego dopływa, a część wypływa. Zauważmy, że środek dowolnie wybranego boku wielokąta $W$ jest środkiem symetrii kraty ${\mathbb{Z}}^2,$ więc w każdej chwili przepływ wody jest centralnie symetryczny względem tego środka. Zatem całkowity przepływ wody przez tę krawędź wielokąta (więc i każdą inną) jest zerowy. Oznacza to, że ilość wody nad obszarem wielokąta nie zmienia się w czasie! Możemy teraz przyjąć, że bryłki były na tyle cienkie, iż woda nad obszarem wielokąta pochodzi jedynie z bryłek lodu umieszczonych w punktach kratowych we wnętrzu lub na brzegu wielokąta $W.$ Każdy punkt kraty leżący wewnątrz wielokąta ,,daje” jednostkę wody. Punkt kratowy znajdujący się wewnątrz krawędzi (niebędący jej końcem) ,,daje” pół jednostki wody, a wierzchołek ,,daje” $\frac{\alpha }{2\pi }$ jednostki wody, gdzie $\alpha$ jest miarą kąta wewnętrznego wielokąta przy tym wierzchołku. Ponieważ suma miar kątów wewnętrznych $n$-kąta $(n⩾3)$ jest równa $(n-2)\pi ,$ więc ich całkowity udział zapewnia $\frac{(n-2)\pi }{2\pi }=\frac{n}{2}-1$ jednostek wody. Stąd teza twierdzenia. $◻$

Wniosek 1. Trójkąt o wierzchołkach w punktach kratowych, który we wnętrzu ani na brzegu nie ma innych punktów kratowych, ma pole równe $\frac{1}{2}.$

Twierdzenie Picka nie ma rozszerzenia na kratę ${\mathbb{Z}}^3.$ Pokazuje to przykład J.E. Reeve’a (1957). Czworościany z rysunku 1 mają 4 wierzchołki w punktach kratowych, nie zawierają innych punktów kratowych, ale mają różne objętości.

Wykorzystamy teraz powyższy wniosek, aby wykazać podstawową własność tzw. ciągów Fareya.

Przypomnijmy, ciągiem Fareya rzędu $n\in \mathbb{N}$ (oznaczenie $f_n$) nazywamy uporządkowany rosnąco ciąg ułamków nieskracalnych z przedziału $[0,1]$ o mianownikach nie większych od $n,$ np.: $$\begin{array}{rl}{f}_1:& \{\frac{0}{1},\frac{1}{1}\},f_2:\{\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1}\},f_3:\{\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{1}\},\\ f_4:& \{\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}\},f_5:\{\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}\},\\ f_6:& \{\frac{0}{1},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{1}{1}\}\text{itd.}\end{array}$$ Oczywiście $f_n\subset f_{n+1},$ $n=1,2,\dots$

John Farey (senior) (1766–1826), angielski geolog zainteresowany ,,matematyką dźwięków”, w 1816 roku zadał pytanie: czy dla trzech kolejnych wyrazów ciągu $f_n$ ($n⩾2$), $\frac{a}{b}<\frac{p}{q}<\frac{c}{d}$ zawsze prawdziwa jest równość $\frac{p}{q}=\frac{a+c}{b+d}$? W tym samym roku Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) potwierdził – jak pisał – ,,niezwykłą właściwość zwykłych ułamków zaobserwowaną przez pana J. Fareya”.

Lemat (Cauchy–Farey, 1816). Jeżeli $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ są kolejnymi wyrazami ciągu Fareya $f_n$ $(n⩾1),$ to $bc-ad=1.$

Dowód. Punkt $(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2$ nazywamy widzialnym z punktu $(0,0),$ gdy na odcinku łączącym te punkty nie ma innych punktów kratowych.

Jeżeli każdy ułamek $\frac{a}{b}\in f_n$ utożsamimy z punktem $(b,a)\in {\mathbb{Z}}^2,$ to punkt $(b,a)$ jest widzialny (bo ułamek $\frac{a}{b}$ jest nieskracalny) i należy do trójkąta $T_n$ o wierzchołkach $(0,0),$ $(n,0),$ $(n,n).$ Co więcej, punkt kratowy $(b,a)\in T_n$ jest widzialny wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{a}{b}\in f_n.$

Wtedy promień wodzący zaczepiony w punkcie $(0,0)$ i leżący na osi $OX,$ obracając się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, przechodzi przez kolejne punkty widzialne w trójkącie $T_n,$ reprezentowane przez ułamki $\frac{a}{b}\in f_n$ w ich porządku rosnącym. Zatem trójkąt o wierzchołkach $(0,0),$ $(b,a),$ $(d,c)$ nie zawiera innych punktów kratowych, a więc jego pole jest równe $\frac{1}{2}$ (wniosek 1). Jednocześnie z geometrii analitycznej wiemy, że pole trójkąta, którego wierzchołki mają wyżej dane współrzędne, jest równe $\frac{1}{2}(bc-ad).$ Stąd $bc-ad=1.$ $◻$

Wniosek 2. Jeżeli $\frac{a}{b}<\frac{p}{q}<\frac{c}{d}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu $f_n,$ $n⩾2,$ to $\frac{p}{q}=\frac{a+c}{b+d}.$

Dowód. Z lematu $bp-aq=1=qc-pd,$ skąd wynika teza. $◻$

Ciągi Fareya znalazły zastosowanie w aproksymacji liczb niewymiernych liczbami wymiernymi, znamy ich związek z algorytmem (drzewem) Sterna–Brocota, z hipotezą Riemanna czy z ,,problemem $3n+1$”. To jest jednak temat na inne spotkanie.