Delta 2/2025

Symetria środkowa

Bartłomiej Bzdęga
matematyka geometria szkoła

Na razie pozostajemy na płaszczyźnie – o symetrii środkowej w trzech wymiarach napiszę w innym odcinku.

Symetria środkowa na płaszczyźnie Π, względem pewnego punktu K, jest przekształceniem geometrycznym SK:Π→Π o następującej własności: jeśli Y=SK(X), to KY→=XK→. Inaczej mówiąc, punkt K jest środkiem odcinka XY (również tego zdegenerowanego do punktu).

Dwukrotne złożenie tej samej symetrii środkowej jest identycznością na całej płaszczyźnie, więc przekształcenie to jest inwolucją. W szczególności wynika z tego, że symetria środkowa jest bijekcją.

Mówimy, że figura F ma środek symetrii K (lub że jest środkowosymetryczna), jeśli spełnia następujący warunek: jeżeli X∈F, to SK(X)∈F. Inaczej – punkty figury F można podzielić na rozłączne każda z każdą pary (X,Y), o tej własności, że punkt K jest zawsze środkiem odcinka XY. Przykładami figur środkowosymetrycznych są: odcinek, prosta, pas (część płaszczyzny pomiędzy parą prostych równoległych), okrąg i parzystokąt foremny.

Twierdzenie. Niech F1 i F2 będą figurami ze środkami symetrii, odpowiednio, K1 i K2 (jeśli środków symetrii jest więcej, to ustalamy dowolnie jeden z nich). Jeśli zachodzi co najmniej jeden z warunków:

(1) K1=K2    lub 
(2) F2 jest obrazem F1 w przesunięciu o K1K2→,

to figury F1∪F2 oraz F1∩F2 (o ile jest niepusta) mają środek symetrii, który jest środkiem odcinka K1K2.

Dowód (1). Niech K1=K2=K. Niech X∈F1∪F2 oraz Y=SK(X). Z definicji figury środkowosymetrycznej mamy Y∈F1 lub Y∈F2, więc Y∈F1∪F2. Przypadek ,,∩” jest analogiczny.

Dowód (2). Przeprowadzimy dowód dla części wspólnej; w przypadku sumy jest podobnie. Niech X∈F1∩F2 oraz Y=SK(X), przy czym K jest środkiem odcinka K1K2. Połóżmy Y1=SK1(X) oraz Y2=SK2(X). Odcinek KK2 jest linią środkową w trójkącie XYY2, więc YY2→=2KK2→=K1K2→. Wiemy, że Y2∈F2, a więc z poprzedniej równości wynika, że Y∈F1, bo F2 jest translacją F1 o K1K2→. Analogicznie dowodzimy, że Y∈F2.

Za pomocą tego twierdzenia można uzasadnić, że środek symetrii mają: równoległobok (część wspólna dwóch pasów o wspólnym środku), część wspólna lub suma dwóch kół o jednakowym promieniu, dowolna para prostych…

Jako przykład rozwiążemy zadanie pochodzące z bieżącej Olimpiady Matematycznej.

Zadanie. Okręgi o1, o2 o równych promieniach przecinają się w punktach A, B. Punkty C, D, E, F leżą w tej kolejności na jednej prostej, przy czym C i E leżą na o1, a D i F – na o2. Symetralne odcinków CD i EF przecinają prostą AB, odpowiednio, w punktach X i Y. Dowieść, że |AX|=|BY|.

Rozwiązanie. Oznaczmy środek odcinka AB przez K. Niech ℓ1 będzie prostą CD, a ℓ2 prostą środkowosymetryczną do ℓ względem punktu K. Z twierdzenia wynika, że punkt K jest środkiem symetrii figury ℓ1∪ℓ2∪o1∪o2. Punkty C′, D′, E′, F′, w których prosta ℓ′ przecina dane okręgi, są obrazami punktów, odpowiednio, C, D, E, F w symetrii SK. Czworokąt EFC′D′ jest trapezem równoramiennym (dlaczego?), więc symetralna odcinka C′D′ i symetralna odcinka EF to ta sama prosta. Jej obrazem w SK jest symetralna odcinka CD, z czego wynika teza.

Zadania

  1. Dany jest równoległobok ABCD oraz punkt M różny od jego wierzchołków. Przez punkty A, B, C, D poprowadzono proste równoległe do, odpowiednio, CM, DM, AM, BM. Udowodnić, że te cztery proste przecinają się w jednym punkcie.

    Wskazówka

  2. Pewien okrąg przecina boki BC, CA, AB trójkąta ABC w punktach, odpowiednio, A1 i A2, B1 i B2, C1 i C2. Załóżmy, że istnieje punkt P1, którego rzutami prostokątnymi na proste BC, CA, AB są A1, B1, C1. Wykazać, że istnieje analogiczny punkt P2 dla A2, B2, C2.

    Wskazówka

  3. Okręgi ω1 i ω2, o równych promieniach, są styczne w punkcie A. Okrąg ω3, o środku O∈ω1, jest styczny wewnętrznie do okręgu ω1 w punkcie B. Udowodnić, że prosta AB przechodzi przez jeden z punktów przecięcia okręgów ω2 i ω3.

    Wskazówka

  4. Czworokąt ABCD wpisany jest w okrąg. Punkty P, Q, R, S są środkami odcinków, odpowiednio, AB, BC, CD, DA. Prosta p przechodzi przez punkt P i jest prostopadła do CD; analogicznie definiujemy proste q, r, s. Udowodnić, że te cztery proste przecinają się w jednym punkcie.

    Wskazówka