Afiliacja: Uniwersytet im. A. Mickiewicza w Poznaniu
Na razie pozostajemy na płaszczyźnie – o symetrii środkowej w trzech wymiarach napiszę w innym odcinku.
Symetria środkowa na płaszczyźnie \(\Pi,\) względem pewnego punktu \(K,\) jest przekształceniem geometrycznym \(\mathcal{S}_K:\Pi\to\Pi\) o następującej własności: jeśli \(Y=\mathcal{S}_K(X),\) to \(\overrightarrow{KY} = \overrightarrow{XK}.\) Inaczej mówiąc, punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(XY\) (również tego zdegenerowanego do punktu).
Dwukrotne złożenie tej samej symetrii środkowej jest identycznością na całej płaszczyźnie, więc przekształcenie to jest inwolucją. W szczególności wynika z tego, że symetria środkowa jest bijekcją.
Mówimy, że figura \(\mathcal{F}\) ma środek symetrii \(K\) (lub że jest środkowosymetryczna), jeśli spełnia następujący warunek: jeżeli \(X\in\mathcal{F},\) to \(\mathcal{S}_K(X)\in\mathcal{F}.\) Inaczej – punkty figury \(\mathcal{F}\) można podzielić na rozłączne każda z każdą pary \((X,Y),\) o tej własności, że punkt \(K\) jest zawsze środkiem odcinka \(XY.\) Przykładami figur środkowosymetrycznych są: odcinek, prosta, pas (część płaszczyzny pomiędzy parą prostych równoległych), okrąg i parzystokąt foremny.
Twierdzenie. Niech \(\mathcal{F}_1\) i \(\mathcal{F}_2\) będą figurami ze środkami symetrii, odpowiednio, \(K_1\) i \(K_2\) (jeśli środków symetrii jest więcej, to ustalamy dowolnie jeden z nich). Jeśli zachodzi co najmniej jeden z warunków:
(1) \(K_1=K_2 \ \ \ \text{ lub }\)
(2) \(\mathcal{F}_2 \text{ jest obrazem } \mathcal{F}_1 \text{ w przesunięciu o~} \overrightarrow{K_1K_2},\)
to figury \(\mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\) oraz \(\mathcal{F}_1\cap \mathcal{F}_2\) (o ile jest niepusta) mają środek symetrii, który jest środkiem odcinka \(K_1K_2.\)
Dowód (1). Niech \(K_1=K_2=K.\) Niech \(X\in \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\) oraz \(Y=\mathcal{S}_K(X).\) Z definicji figury środkowosymetrycznej mamy \(Y\in F_1\) lub \(Y\in F_2,\) więc \(Y\in\mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2.\) Przypadek ,,\(\cap\)” jest analogiczny.
Dowód (2). Przeprowadzimy dowód dla części wspólnej; w przypadku sumy jest podobnie. Niech \({X\in \mathcal{F}_1\cap\mathcal{F}_2}\) oraz \(Y=\mathcal{S}_K(X),\) przy czym \(K\) jest środkiem odcinka \(K_1K_2.\) Połóżmy \(Y_1=\mathcal{S}_{K_1}(X)\) oraz \(Y_2=\mathcal{S}_{K_2}(X).\) Odcinek \(KK_2\) jest linią środkową w trójkącie \(XYY_2,\) więc \(\overrightarrow{YY_2} = 2\overrightarrow{KK_2} = \overrightarrow{K_1K_2}.\) Wiemy, że \(Y_2\in\mathcal{F}_2,\) a więc z poprzedniej równości wynika, że \(Y\in\mathcal{F}_1,\) bo \(\mathcal{F}_2\) jest translacją \(\mathcal{F}_1\) o \(\overrightarrow{K_1K_2}.\) Analogicznie dowodzimy, że \(Y\in\mathcal{F}_2.\)
Za pomocą tego twierdzenia można uzasadnić, że środek symetrii mają: równoległobok (część wspólna dwóch pasów o wspólnym środku), część wspólna lub suma dwóch kół o jednakowym promieniu, dowolna para prostych…
Jako przykład rozwiążemy zadanie pochodzące z bieżącej Olimpiady Matematycznej.
Zadanie. Okręgi \(o_1,\) \(o_2\) o równych promieniach przecinają się w punktach \(A,\) \(B.\) Punkty \(C,\) \(D,\) \(E,\) \(F\) leżą w tej kolejności na jednej prostej, przy czym \(C\) i \(E\) leżą na \(o_1,\) a \(D\) i \(F\) – na \(o_2.\) Symetralne odcinków \(CD\) i \(EF\) przecinają prostą \(AB,\) odpowiednio, w punktach \(X\) i \(Y.\) Dowieść, że \(|AX| = |BY|.\)
Rozwiązanie. Oznaczmy środek odcinka \(AB\) przez \(K.\) Niech \(\ell_1\) będzie prostą \(CD,\) a \(\ell_2\) prostą środkowosymetryczną do \(\ell\) względem punktu \(K.\) Z twierdzenia wynika, że punkt \(K\) jest środkiem symetrii figury \(\ell_1\cup\ell_2\cup o_1\cup o_2.\) Punkty \(C',\) \(D',\) \(E',\) \(F',\) w których prosta \(\ell'\) przecina dane okręgi, są obrazami punktów, odpowiednio, \(C,\) \(D,\) \(E,\) \(F\) w symetrii \(S_K.\) Czworokąt \(EFC'D'\) jest trapezem równoramiennym (dlaczego?), więc symetralna odcinka \(C'D'\) i symetralna odcinka \(EF\) to ta sama prosta. Jej obrazem w \(S_K\) jest symetralna odcinka \(CD,\) z czego wynika teza.
Zadania
-
Dany jest równoległobok \(ABCD\) oraz punkt \(M\) różny od jego wierzchołków. Przez punkty \(A,\) \(B,\) \(C,\) \(D\) poprowadzono proste równoległe do, odpowiednio, \(CM,\) \(DM,\) \(AM,\) \(BM.\) Udowodnić, że te cztery proste przecinają się w jednym punkcie.
Wskazówka Te proste są obrazami prostych \(CM,\) \(DM,\) \(AM,\) \(DM\) w symetrii względem środka równoległoboku, więc ich punkt wspólny jest obrazem \(M.\)
-
Pewien okrąg przecina boki \(BC,\) \(CA,\) \(AB\) trójkąta \(ABC\) w punktach, odpowiednio, \(A_1\) i \(A_2,\) \(B_1\) i \(B_2,\) \(C_1\) i \(C_2.\) Załóżmy, że istnieje punkt \(P_1,\) którego rzutami prostokątnymi na proste \(BC,\) \(CA,\) \(AB\) są \(A_1,\) \(B_1,\) \(C_1.\) Wykazać, że istnieje analogiczny punkt \(P_2\) dla \(A_2,\) \(B_2,\) \(C_2.\)
Wskazówka Rozważyć symetrię środkową względem środka danego okręgu – obrazem prostej \(A_1P_1\) będzie prosta prostopadła do \(BC,\) przechodząca przez \(A_2,\) …
Ciekawostka. Jeśli \(P_1\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie, to \(P_2\) jest jego ortocentrum, a okrąg z zadania – okręgiem dziewięciu punktów.
-
Okręgi \(\omega_1\) i \(\omega_2,\) o równych promieniach, są styczne w punkcie \(A.\) Okrąg \(\omega_3,\) o środku \(O\in\omega_1,\) jest styczny wewnętrznie do okręgu \(\omega_1\) w punkcie \(B.\) Udowodnić, że prosta \(AB\) przechodzi przez jeden z punktów przecięcia okręgów \(\omega_2\) i \(\omega_3.\)
Wskazówka Udowodnić, że punkt symetryczny do \(B\) względem \(A\) leży jednocześnie na \(\omega_2\) i \(\omega_3.\)
-
Czworokąt \(ABCD\) wpisany jest w okrąg. Punkty \(P,\) \(Q,\) \(R,\) \(S\) są środkami odcinków, odpowiednio, \(AB,\) \(BC,\) \(CD,\) \(DA.\) Prosta \(p\) przechodzi przez punkt \(P\) i jest prostopadła do \(CD\); analogicznie definiujemy proste \(q,\) \(r,\) \(s.\) Udowodnić, że te cztery proste przecinają się w jednym punkcie.
Wskazówka Niech \(K\) będzie środkiem równoległoboku \(PQRS.\) Obrazem prostej \(p\) w symetrii \(\mathcal{S}_K\) jest symetralna odcinka \(CD.\) Analogicznie jest z pozostałymi prostymi z zadania.