Afiliacja: Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Warszawski
Obrączka to okrąg \(\cal O\) w przestrzeni \(\mathbb R^3.\) Kiedy są dwie obrączki \({\cal O}_1,\) \({\cal O}_2,\) możliwe są dwa przypadki: albo obrączki się przecinają, albo nie.
Nauczymy się najpierw rozstrzygać, z którym przypadkiem mamy do czynienia. W tym celu przypomnimy, jak opisać okrąg \(\cal O\) w przestrzeni \(\mathbb R^3\) w ramach geometrii analitycznej. Każdy okrąg \({\cal O}\subset \mathbb R^3\) można (na wiele sposobów) rozpatrywać jako przecięcie sfery z płaszczyzną. Dlatego poniższy układ równań z trzema niewiadomymi \(x,y,z\): \[\left\{ \begin{array}{l} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2 \\ Ax+By+Cz+D=0 \end{array} \right.\] opisuje właśnie okrąg, punkt albo zbiór pusty. Ten opis można uprościć, żądając, aby płaszczyzna przechodziła przez środek sfery, czyli by \(D=-Ax_0-By_0-Cz_0.\) Wówczas punkt \((x_0,y_0,z_0)\) jest środkiem obrączki, a \(r>0\) jej promieniem. Z takimi reprezentacjami okręgów w \(\mathbb R^3\) będziemy dalej pracować.
Obrączki Jasia i Małgosi przecinają się dokładnie wtedy, gdy następujący układ równań nie jest sprzeczny: \[\left\{ \begin{array}{l} (x-x_J)^2+(y-y_J)^2+(z-z_J)^2=r_J^2 \\ A_Jx+B_Jy+C_Jz=A_Jx_J+B_Jy_J+C_Jz_J \\ A_Mx+B_My+C_Mz=A_Mx_M+B_My_M+C_Mz_M \\ (x-x_M)^2+(y-y_M)^2+(z-z_M)^2=r_M^2. \end{array} \right.\] Z oczywistych powodów geometrycznych układ ten ma wówczas jedno lub dwa rozwiązania. Pominiemy uzasadnienie formalne, które nie jest ani trudne, ani ciekawe. Zajmiemy się natomiast skrupulatnie jednym z podprzypadków przypadku, gdy ten układ jest sprzeczny! Mianowicie chodzi nam o sytuację, gdy obrączki są zaręczone, a nie daleko–osobno od siebie. Rysunki na marginesie wyjaśniają wszystko – i szkoda, że życie nie jest takie proste.
Obrączki zaręczone
Obrączki daleko–osobno
Najpierw scharakteryzujemy algebraicznie przypadek zapętlenia obrączek. Obrączka Jasia może przecinać płaszczyznę Małgosi w punktach (na ogół dwóch), które spełniają układ pierwszych trzech z powyższych równań: \[\left\{ \begin{array}{l} (x-x_J)^2+(y-y_J)^2+(z-z_J)^2=r_J^2 \\ A_Jx+B_Jy+C_Jz=A_Jx_J+B_Jy_J+C_Jz_J \\ A_Mx+B_My+C_Mz=A_Mx_M+B_My_M+C_Mz_M. \end{array} \right.\] Obrączki są zaręczone dokładnie wtedy, gdy obrączka Jasia przecina płaszczyznę obrączki Małgosi raz wewnątrz, a raz na zewnątrz jej obrączki. W takiej sytuacji istnieją dokładnie dwa rozwiązania \((x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2)\) powyższego układu równań, które spełniają układ nierówności: \[\left\{ \begin{array}{l} (x_1-x_M)^2+(y_1-y_M)^2+(z_1-z_M)^2<r_M^2 \\ (x_2-x_M)^2+(y_2-y_M)^2+(z_2-z_M)^2>r_M^2. \end{array} \right.\] Lakonicznie (i, jak się za chwilę okaże, pożytecznie) można to zakodować za pomocą naprędce zdefiniowanej funkcji zależnej od położenia i rozmiaru obrączek: \[\begin{split} E:={} & \left( (x_1-x_M)^2+(y_1-y_M)^2+(z_1-z_M)^2-r_M^2 \right) \\&\cdot \left( (x_2-x_M)^2+(y_2-y_M)^2+(z_2-z_M)^2-r_M^2 \right). \end{split}\] Powyższa wartość nie jest określona, gdy obrączka Jasia nie przecina płaszczyzny obrączki Małgosi – przyjmijmy, że wówczas \(E=\infty.\) Mamy zatem:
\(E<0,\) gdy obrączki są zaręczone;
\(E>0,\) gdy obrączki są daleko–osobne;
\(E=0,\) gdy obrączki przecinają się.
Załóżmy teraz, że mamy \(16\) funkcji ciągłych: \[x_J(t),y_J(t), z_J(t), r_J(t), A_J(t),B_J(t), C_J(t), r_J(t),\] \[x_M(t),y_M(t), z_M(t), r_M(t), A_M(t),B_M(t), C_M(t), r_M(t),\] określonych na przedziale domkniętym \([0,1]\) i takich, że dla każdego \(t\in[0,1]\) zachodzą nierówności \(r_J(t)>0\) oraz \(r_M(t)>0.\) Ponadto przypuśćmy, że \[E(0)<0\ \mbox{ oraz } E(1)>0.\] Rozpatrujemy więc ciągłą rodzinę par obrączek taką, że w chwili \(t=0\) są one zaręczone, a w chwili \(t=1\) odplątane. Dla uproszczenia załóżmy, że \(E(t)<\infty\) dla \(t\in [0,1].\)
Z własności Darboux funkcji ciągłych wynika teraz, że istnieje pośrednia chwila czasu \(t_0\in (0,1)\) taka, że \(E(t_0)=0,\) a zatem chwila, w której obrączki się przetną! Podsumowując: zaręczonych obrączek nie można rozłączyć bez sekatora do tombaku!
Natomiast dysponując przestrzenią \(\mathbb R^4\) (ze współrzędnymi \((x,y,z,w)\)), łatwo skonstruować ciągłą rodzinę par obrączek w ten sposób, że w chwili \(t=0\) mamy parę zaręczoną, a w chwili \(t=1\) parę daleko–osobną i w każdej pośredniej chwili obrączki nie przecinają się. Oto szczegóły dotyczące konkretnej sytuacji, gdy na początku mamy takie obrączki: \[\begin{split} {\cal O}_J & =\{(x,y,0,0)\in \mathbb R^4\mid x^2+y^2=1\}, \\ {\cal O}_M & =\{(x,0,z,0)\in \mathbb R^4\mid (x-1)^2+z^2=1/4\}. \end{split}\] (Obrączka Małgosi jest dwa razy węższa, co dla całej konstrukcji nie ma specjalnego znaczenia). W przestrzeni trójwymiarowej \(w=0\) są to obrączki zaręczone: płaszczyzna Jasia \(z=0\) przecina obrączkę Małgosi w punktach \((1/2,0,0)\) i \((3/2,0,0),\) z czego jeden leży „wewnątrz”, a drugi „na zewnątrz” obrączki Jasia. Przesuwamy obrączki tak, że po czasie \(t\in (0,3/4]\) zajmują następujące miejsca w \(\mathbb R^4\): \[\begin{split} {\cal O}_{J,t} & =\{(x,y,0,t)\in \mathbb R^4\mid x^2+y^2=1\}, \\ {\cal O}_{M,t} & =\{(x,0,z,-t)\in \mathbb R^4\mid (x-1-t)^2+z^2=1/4\}. \end{split}\] W chwili \(t=3/4\) obrączki znajdują się w następujących miejscach: \[\begin{aligned}[b] {\cal O}_{J,3/4} & =\{(x,y,0,3/4)\in \mathbb R^4\mid x^2+y^2=1\}, \\ {\cal O}_{M,3/4} & =\{(x,0,z,-3/4)\in \mathbb R^4\mid (x-7/4)^2+z^2=1/4\}, \end{aligned}\] W obcięciu do pierwszych trzech współrzędnych są one rozsunięte: maksymalna wartość współrzędnej \(x\) dla pierwszej obrączki to 1, czyli mniej niż minimalna wartość współrzędnej \(x\) drugiej obrączki (czyli \(5/4\)). Niestety „żyją” one w równoległych rozłącznych trójwymiarowych podprzestrzeniach afinicznych \(\{w=3/4\}\) oraz \(\{w=-3/4\}\) przestrzeni \(\mathbb R^4.\) Ale pozostały czas (ćwierć sekundy) wykorzystamy na sprowadzenie obrączek do tej samej podprzestrzeni trójwymiarowej, w której znajdowały się w chwili \(t=0\): \[\begin{split} {\cal O}_{J,t} & =\{(x,y,0,3-3t)\in \mathbb R^4\mid x^2+y^2=1\}, \\ {\cal O}_{M,t} & =\{(x,0,z,3t-3)\in \mathbb R^4\mid (x-7/4)^2+z^2=1/4\}. \end{split}\] Rzeczywiście, gdy podstawimy w powyższych wzorach \(t=1,\) to otrzymamy \[\begin{split} {\cal O}_{J,1} & =\{(x,y,0,0)\in \mathbb R^4\mid x^2+y^2=1\}, \\ {\cal O}_{M,1} & =\{(x,0,z,0)\in \mathbb R^4\mid (x-7/4)^2+z^2=1/4\}, \end{split}\] czyli obrączki rozłączone, i to „żyjące” w tej samej przestrzeni trójwymiarowej \(w=0.\) Proszę zauważyć, że w każdej chwili obrączki są rozłączne, a więc udało nam się je rozplątać tylko przez bardzo delikatne (tzn. ciągłe) rozsuwanie!
Niniejszym chcę podziękować redaktorom Łukaszowi Rajkowskiemu i Michałowi Miśkiewiczowi za nieocenioną pomoc przy nierozłączaniu w \(\mathbb{R}^3\) i rozplątywaniu w \(\mathbb{R}^4.\)
I tak się trudno rozstać… I tak się łatwo rozstać… (\(\mathbb R^3\) versus \(\mathbb R^4\))…
Konstanty Ildefons Gałczyński, Deszcz