Afiliacja: Politechnika Śląska
Jednym z centralnych zagadnień w teorii liczb jest badanie odległości pomiędzy kolejnymi liczbami pierwszymi. Są to tzw. prime gaps, w encyklopedii OEIS występujące jako ciąg A001223, którego \(n\)-ty wyraz to różnica między \((n+1)\)-szą i \(n\)-tą liczbą pierwszą: \[1,\,2,\,2,\,4,\,2,\,4,\,2,\,4,\,6,\,2,\,6,\,4,\,2,\,4,\,6,\,6,\,2,\,6,\,4,\,2,\,6,\,4,\,6,\,8,\,4,\,\ldots\] Rozważany ciąg kryje wiele tajemnic świata liczb pierwszych. Przykładowo słynną hipotezę o liczbach pierwszych bliźniaczych można wyrazić następująco: liczba \(2\) występuje w ciągu prime gaps nieskończenie wiele razy.
W roku 1958 Norman Gilbreath – ówczesny student matematyki na UCLA – zauważył ciekawą zależność dotyczącą kolejnych iteracji ciągów różnic. Tworzymy ciągi liczb naturalnych w następujący sposób. Pierwszym ciągiem jest ciąg liczb pierwszych. Drugi ciąg to ciąg różnic kolejnych elementów ciągu pierwszego (od liczby większej odejmujemy mniejszą) – czyli wspomniany wyżej ciąg prime gaps. Na trzeci ciąg składają się wartości bezwzględne różnic kolejnych elementów ciągu drugiego, na czwarty – wartości bezwzględne różnic kolejnych elementów ciągu trzeciego i tak dalej. Poniżej prezentujemy początkowe elementy kilku początkowych ciągów otrzymanych w ten sposób: \[\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} 2, & 3, & 5, & 7, & 11, & 13, & 17, & 19, & 23, & 29, & 31, & 37, & 41, & 43, & 47, & 53, & 59, & 61, & 67, & 71, & \ldots \\ 1, & 2, & 2, & 4, & 2, & 4, & 2, & 4, & 6, & 2, & 6, & 4, & 2, & 4, & 6, & 6, & 2, & 6, & 4, & 2, & \ldots \\ 1, & 0, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 2, & 4, & 4, & 2, & 2, & 2, & 2, & 0, & 4, & 4, & 2, & 2, & 4, & \ldots \\ 1, & 2, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 2, & 0, & 2, & 0, & 0, & 0, & 2, & 4, & 0, & 2, & 0, & 2, & 2, & \ldots \\ 1, & 2, & 0, & 0, & 0, & 0, & 2, & 2, & 2, & 2, & 0, & 0, & 2, & 2, & 4, & 2, & 2, & 2, & 0, & 2, & \ldots \\ 1, & 2, & 0, & 0, & 0, & 2, & 0, & 0, & 0, & 2, & 0, & 2, & 0, & 2, & 2, & 0, & 0, & 2, & 2, & 2, & \ldots \\ \end{array}\] Hipoteza Gilbreatha stanowi, że, począwszy od drugiego, każdy tak otrzymany ciąg zaczyna się od liczby \(1.\)
Już od chwili jej sformułowania hipoteza Gilbreatha wzbudziła żywe zainteresowanie wśród matematyków. Wystarczy wspomnieć, że zaledwie trzy lata później Wacław Sierpiński umieścił ją wśród pierwszych zagadnień (pomiędzy hipotezą Goldbacha a rozkładem liczb naturalnych na iloczyn liczb pierwszych) omawianych w znakomitej książeczce Co wiemy, a czego nie wiemy o liczbach pierwszych. Na zakończenie wypada dodać, że obserwacja Gilbreatha pojawiła się (bez dowodu) w pracy francuskiego matematyka Françoisa Protha już 80 lat wcześniej. Podsumowując, hipoteza podzieliła los wielu innych zależności matematycznych, które na trwałe związały się z nazwiskiem innej osoby niż ta, która jako pierwsza je zaobserwowała. Przypuszczenie Gilbreatha do dziś czeka na dowód lub kontrprzykład.