Afiliacja: Politechnika Śląska
Istnieją szeregi, które wyglądają jak ćwiczenie z pierwszego kursu analizy, a w rzeczywistości dotykają jednego z trudnych pytań o liczbę \(\pi.\) Ale zacznijmy delikatnie, od najistotniejszych definicji i faktów. Jeżeli \(a_n\) jest nieskończonym ciągiem liczbowym, to wyrażenie \[\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots\] nazywamy szeregiem o wyrazie ogólnym \(a_n.\) Jeżeli istnieje skończona granica ciągu sum częściowych \[g=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^na_n,\] to mówimy, że dany szereg jest zbieżny do \(g.\) Szeregi, które nie są zbieżne, nazywamy rozbieżnymi. Sztandarowym przykładem szeregu zbieżnego jest suma odwrotności potęg liczby \(2,\) natomiast przykładem rozbieżnego – suma odwrotności liczb naturalnych (tzw. szereg harmoniczny) \[\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n}=1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n=1}^\infty\frac1n=\infty.\] Podstawowe metody określania zbieżności szeregów są jednymi z pierwszych zagadnień, z którymi studenci się zapoznają na podstawowym kursie analizy matematycznej – należą do nich kryteria: porównawcze, Cauchy’ego oraz d’Alemberta. Czasami zdarza mi się prowadzić ćwiczenia z analizy dla studentów informatyki na Politechnice Śląskiej – zawsze pod koniec zajęć na temat szeregów proponuję im zbadanie zbieżności jednego z nich \[\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3\sin^2n}.\] Próby rozwiązania tego zadania często okazują się dla studentów pouczające, lecz jeszcze nikomu nie udało się tej zbieżności rozstrzygnąć. Zawsze po kilku nieudanych (i nierzadko pomysłowych!) podejściach na pocieszenie oznajmiam, że ja również nie potrafię tego rozwiązać i, z tego co mi wiadomo, w zasadzie nikt nie potrafi.
Rzeczona suma znana jest jako szereg Flint Hills i została przedstawiona w 2002 roku przez Clifforda A. Pickovera w książce The Mathematics of Oz. Mental Gymnastics from Beyond the Edge. Dziewięć lat później okazało się, że określenie zbieżności tego szeregu pozwoliłoby nam trochę lepiej zrozumieć naturę liczby \(\pi.\) Max Alekseyev wykazał, że gdyby szereg Flint Hills był zbieżny, to liczby wymierne nie mogłyby przybliżać \(\pi\) „zbyt dobrze”: wyjątkowo dokładne przybliżenia musiałyby pojawiać się dostatecznie rzadko. Poglądowo można to uzasadnić następująco:
Zauważmy, że wartości ułamka \(1/(n^3\sin^2n)\) są „duże” tylko wtedy, gdy mianownik jest bliski \(0\) – zdarza się to, gdy \(n\) znajduje się blisko miejsc zerowych funkcji sinus, którymi są (jak wiemy ze szkoły średniej) wielokrotności liczby \(\pi.\) Zatem elementy szeregu przyjmują duże wartości dla takich par liczb naturalnych \(n\) i \(k,\) dla których \(n\approx k\pi,\) co jest równoważne z \(n/k\approx\pi.\) Zbieżność szeregu zależy więc od tego, czy takie wyjątkowo dobre przybliżenia liczby \(\pi\) pojawiają się dostatecznie rzadko.
Określenie zbieżności szeregu Flint Hills zostawiam moim studentom – oraz Czytelnikom – jako zadanie domowe. Wszak Paul R. Halmos w przedmowie do podręcznika A Hilbert Space Problem Book sformułował bardzo przydatną zasadę dydaktyczną: The only way to learn mathematics is to do mathematics.