Afiliacja: Politechnika Śląska
Arytmetycznym ułamkiem łańcuchowym nazywamy wyrażenie \[\displaystyle a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{\ddots+\frac1{a_n}}}},\] w którym \(a_0\) jest liczbą całkowitą, a pozostałe \(a_i\) są liczbami całkowitymi dodatnimi. Liczby \(a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n\) nazywamy mianownikami częściowymi ułamka łańcuchowego, a sam ułamek łańcuchowy często skrótowo zapisuje się jako \((a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n).\) Prosty algorytm – polegający na naprzemiennym odwracaniu i wyciąganiu części całkowitej – pozwala zapisać dowolną liczbę wymierną w postaci takiego ułamka. Zaprezentujmy to na przykładzie liczby \(11/14\): \[\frac{11}{14}=\frac1{\frac{14}{11}}=\frac1{1+\frac3{11}}=\frac1{1+\frac1{\frac{11}3}}=\frac1{1+\frac1{3+\frac23}}=\frac1{1+\frac1{3+\frac1{\frac32}}}=\frac1{1+\frac1{3+\frac1{1+\frac12}}}.\] Zatem ciąg mianowników częściowych rozważanej liczby to \((0,1,3,1,2).\) W poniższej tabeli prezentujemy wszystkie właściwe ułamki nieskracalne z mianownikiem \(14\) wraz z ich ciągami mianowników częściowych: \[\def\arraystretch{1.3}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline1/14&3/14&5/14&9/14&11/14&13/14\\\hline(0,14)&(0,4,1,2)&(0,2,1,4)&(0,1,1,1,4)&(0,1,3,1,2)&(0,1,13)\\\hline\end{array}\] Zauważmy, że ciąg liczby \(11/14\) wyróżnia się na tle pozostałych pięciu tym, że zawiera „najmniejsze” liczby – w tym sensie, że największy mianownik częściowy w jej ciągu (liczba \(3\)) jest nie większy od największych mianowników częściowych w ciągach pozostałych liczb (którymi są odpowiednio: \(14,4,4,4,13\)). Skupmy się na poruszonym wątku „najmniejszego z największych”, konkretyzując rozpatrywane zagadnienie w następującym problemie:
Czytelnik Wnikliwy zapewne zauważy, że omawiamy tak naprawdę dobrze znany algorytm Euklidesa.
Dla danej liczby całkowitej \(q>1\) rozpatrujemy wszystkie nieskracalne ułamki właściwe postaci \(p/q\) i z takiego ułamka bierzemy największy z jego mianowników częściowych. Niech m(q) będzie najmniejszą z tych wartości maksymalnych. Jakie wartości może przyjąć \(m(q)\)?
Już wiemy, że \(m(14)=3.\) Są znane liczby o wartościach większych, przykładowo nietrudno sprawdzić, że \(m(6)=5\) i \(m(20)=4.\) Co ciekawe, nie znamy żadnej liczby \(q,\) dla której \(m(q)>5\) i nie wiemy nawet, czy taka liczba w ogóle istnieje! W 1971 roku polski matematyk Stanisław Zaremba postawił hipotezę, że dla każdej liczby całkowitej \(q>1\) zachodzi \(m(q)\leqslant5.\)
Data sformułowania hipotezy słusznie sugeruje, że jej autorem jest młodszy z Zarembów – Stanisław Krystyn, który był nie tylko matematykiem, ale i znanym górołazem. Jego działalność taternicza doczekała się nietypowego upamiętnienia w postaci wrocławskiego krasnala Zarembka – jednego z trzech Alpinków, których można podziwiać na ulicy Strzegomskiej.
Heurystyczne przesłanki sugerują, że \(m(q)>5\) faktycznie może nie mieć rozwiązań. Jedynymi znanymi wartościami \(q,\) dla których \(m(q)=5\) są \(6,\) \(54\) i \(150\). Znanych jest \(35\) liczb, dla których uzyskujemy wartość \(4\) (A141823) – największa z nich to \(6234.\) Pozostałe sprawdzone liczby przyjmują wartości \(2\) lub \(3.\) W 1976 roku Itshak Borosh zbadał wszystkie wartości \(m(q)\) dla \(q\leqslant10\,000\), a kilka lat później informował, że Donald Knuth wykonał obliczenia aż do \(3{,}2\cdot10^6,\) nie znajdując żadnego mianownika z \(m(q)>3.\) Na wszelki wypadek razem z Mariuszem Pleszczyńskim niezależnie sprawdziliśmy wszystkie mianowniki do \(10^7\) – także bez nowych wyjątków.
Pamiętasz, Czytelniku, jak w Kącie \(14^\circ\) (\(\Delta_{26}^4\)) rozważaliśmy ciągi w OEIS, które – wbrew przyjętym normom i zwyczajom – mają mniej niż 4 elementy? Jednym z nich jest A195901, złożony z liczb
\(6,\) \(54\) i \(150.\)
Hipoteza Zaremby ma również „słabą” wersję: istnieje stała \(A\) taka, że dla każdej liczby całkowitej \(q>1\) zachodzi \(m(q)\leq A.\) W 2014 roku Jean Bourgain i Alex Kontorovich udowodnili prawdziwość słabej wersji dla prawie wszystkich mianowników \(q\) (w tym sensie, że prawdopodobieństwo wylosowania „dobrego” mianownika ze zbioru wszystkich liczb naturalnych nie większych niż \(n\) dąży do \(1\) przy \(n\to\infty\)). W takim sformułowaniu autorom udało się uzyskać stałą \(A=50,\) która rok później została poprawiona do \(A=5\) przez ShinnYih Huanga. W maju 2026 roku Xin Zhang na arXiv zamieścił artykuł, w którym postuluje dowód słabej wersji hipotezy Zaremby. Do dziś jednak nie wiemy, czy istnieje choć jedna liczba, dla której \({m(q)>5}.\)
Strona arXiv.org to bezpłatne internetowe repozytorium preprintów naukowych, czyli prac udostępnianych publicznie zwykle przed formalną publikacją w czasopiśmie naukowym. Wyniki z arXiv należy traktować z pewną dozą ostrożności, choć często są poprawne.
Na koniec pozwolę sobie na postawienie innej zuchwałej hipotezy: liczba mianowników, dla których \(m(q)>2\) jest skończona.