Pierścienie Boromeuszy a wieszanie obrazków

Afiliacja: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski

Polecam następującą zagadkę: skonstruować trzy pętle („pierścienie”) \(A,\) \(B,\) \(C\) w taki sposób, by:

• tworzyły one nietrywialny splot, a więc np. by pętli \(C\) nie dało się wyjąć na zewnątrz;

• każda para tworzyła trywialny splot, czyli np. po usunięciu \(C\) pozostałe pętle \(A,\) \(B\) dało się rozdzielić.

Dla ilustracji podaję obok przykład nietrywialnego splotu dwóch pętli (rys. 1). Nietrywialność można rozpoznać po tym, że idąc wzdłuż \(D,\) raz przechodzimy nad \(E,\) a raz pod. Rozwiązanie tej zagadki poniżej, tymczasem wskazówka: zacząć od umieszczenia pętli \(A\) i \(B\) jak na rysunku 2 (mogą nawet na siebie nachodzić, byle nie były splątane), po czym poprowadzić pętlę \(C\) w taki sposób, by kolejne „przecięcia” z pętlą \(A\) się znosiły, czyli np. układały w ciąg nad-nad-pod-pod lub nad-pod-pod-nad; podobnie z pętlą \(B\) – w ten sposób unikniemy splotu par \(A,C\) i \(B,C.\) Pozostaje przeprowadzić to w taki sposób, by cała trójka była splątana.

Rys. 1. Przykład nietrywialnego splotu pętli \(D\) i \(E\) (splot Hopfa)

Najprostsze rozwiązanie tej zagadki bierze swoją nazwę od włoskiego rodu Boromeuszy, który umieścił je w swoim herbie. Według niektórych źródeł splot ten symbolizował więzy łączące trzy rodziny arystokratyczne – Boromeuszy, Sforzów i Viscontich – a według innych odnosił się do Trójcy Świętej. Był też chętnie stosowany wcześniej przez ludy germańskie (w swojej trójkątnej formie znanej jako valknut), jak i poza Europą. Jaki jednak ma to związek z wieszaniem obrazków rozważanym przez Marię Pieczarkę w obecnym numerze?

Otóż jest to po prostu ta sama zagadka! W zobaczeniu tego pomoże opis formalny, nieco odmienny od języka przejść nad i pod. Ustalmy jakiś punkt zaczepienia \(O\) i prowadźmy pętlę \(C\) etapami: w jednym kroku wychodzimy z \(O,\) przechodzimy przez jedną z pętli \(A\) lub \(B\) i wracamy do \(O.\) Zanotujmy przy tym kolejne kroki: niech \(a\) odpowiada przejściu przez \(A\) z góry na dół, \(a^{-1}\) podobnie, tylko z dołu do góry, a \(b\) oraz \(b^{-1}\) analogicznie dla \(B.\) Przeanalizujmy następnie otrzymany napis. Dla przykładu: \(ab\) odpowiada zwyczajnemu łańcuchowi złożonemu z trzech ogniw (rys. 2), który spełnia prawie wszystkie warunki zagadki – niestety usunięcie \(A\) pozostawia \(B\) i \(C\) nadal splątane. Odnotujmy, że przyporządkowanie napisowi odpowiadającej mu pętli jest wzajemnie jednoznaczne, jeśli umówimy się, że napisy można „skracać”, np. utożsamiając \(aaa^{-1}b\) z \(ab\) (polecam zastanowić się, dlaczego to są dwa sposoby opisu tej samej pętli), przy czym zamiana kolejności symboli jest niedozwolona. Ta obserwacja nie jest łatwa w dowodzie, ale chyba odpowiada intuicji.

Rys. 2. Trywialny splot \(A\) i \(B\) jako zaczątek rozwiązania zagadki. Kolorem zaznaczona jest pętla \(C\) odpowiadająca przykładowemu napisowi \(ab\)

Po przeczytaniu artykułu o wieszaniu obrazka nie powinno dziwić, że właściwym rozwiązaniem okazuje się… pętla \(C\) opisana poprzez \(a b a^{-1} b^{-1}.\) Rzeczywiście, usunięcie pętli \(B\) powoduje, że symbole \(b\) i \(b^{-1}\) można pominąć, pozostawiając \(aa^{-1},\) a to skraca się do pustego napisu, czyli pętli trywialnej (niepołączonej z \(A\)); podobnie jest przy usunięciu \(A.\) Warto pamiętać, że nie jest to jedyne rozwiązanie. W artykule Jacka Gładysza z \(\Delta^{1}_{18}\) pojawia się inny naturalny splot, spopularyzowany przez Martina Gardnera, i okazuje się, że istotnie różni się on od splotu Boromeuszy. Jakiemu napisowi odpowiada? Pozostawiam Czytelnika z tym pytaniem.

Proponuję jeszcze trzy zagadki związane ze splotem Boromeuszy. W ramach wstępu do pierwszej z nich zauważmy, że na pętli \(C\) nie da się rozpiąć dysku, który byłby rozłączny z \(A\) i \(B\) – inaczej \(C\) dałoby się ściągnąć do punktu bez zahaczenia o pozostałe pętle (rys. 3). Ale da się rozpiąć co innego:

Rys. 3. Na pętli \(C\) rozpięto „dysk” rozłączny z \(A.\) Umożliwia to stopniową deformację pętli \(C\) poprzez ściąganie jej do punktu, co zaznaczono kolorowymi liniami

Warto zwrócić uwagę, że na rysunku 1 podobne zadanie byłoby niemożliwe – na pętli \(D\) nie da się rozpiąć żadnej powierzchni rozłącznej z \(E.\) Okazuje się tu kluczowe, że napis \(aba^{-1}b^{-1}\) skraca się, jeśli dopuścimy zamianę symboli miejscami (bo \(aa^{-1}bb^{-1}\) sprowadza się do pustego napisu). Pełne wyjaśnienie tego fenomenu można odnaleźć w twierdzeniu Hurewicza, na którego omówienie niestety brakuje tu miejsca.

Podobnie dla każdego innego splotu (lub węzła) da się znaleźć rozpiętą nań powierzchnię orientowalną (nawet więcej niż jedną), nazywaną powierzchnią Seiferta – pożytki z istnienia takiej powierzchni to również temat na inną opowieść.