Uniwersytet im. A. Mickiewicza w Poznaniu
Rys. 1
Rys. 2
Czytelnikom, którzy nie przeczytali dwóch poprzednich kącików, polecam uczynić to przed przystąpieniem do lektury bieżącego. Opisane są tam wszystkie definicje i oznaczenia (standardowe dla trójkąta \(ABC\)) oraz własności punktu Humpty, które potrzebne będą i tutaj. Teraz kolej na punkt Dumpty, bliźniaka Humpty’ego.
Tak jak poprzednio, ograniczę się do trójkąta ostrokątnego, ale opisane tu fakty można uogólnić na ciekawsze trójkąty.
Rozważmy trójkąt \(ABC.\) Prostą izogonalnie sprzężoną w trójkącie \(ABC\) (por. \(\Delta_{26}^1\)) do środkowej poprowadzonej z wierzchołka \(A\) nazwiemy \(A\)-symedianą. Jedną z jej podstawowych własności jest to, że przechodzi ona przez punkt wspólny stycznych do \(\odot(ABC)\) w punktach \(B\) i \(C.\) Uzasadnienie można znaleźć w artykule Jerzego Bednarczuka w \(\Delta_{16}^5\) (twierdzenie 4).
Twierdzenie 1. Każda z poniższych definicji określa jednoznacznie ten sam punkt \(Y\):
rzut prostokątny punktu \(O\) na \(A\)-symedianę trójkąta \(ABC\);
różny od \(O\) punkt przecięcia \(\odot(AO)\) i \(\odot(BCO)\) (lub punkt \(O,\) jeśli te okręgi są styczne);
punkt \(Y\) spełniający równości: \(|\angle BAY|=|\angle ACY|\) i \(|\angle CAY|=|\angle ABY|\);
punkt \(Y,\) dla którego \(\odot(ABY)\) i \(\odot(ACY)\) są styczne, odpowiednio, do prostych \(AC\) i \(AB.\)
Dowód. Niech \(T\) będzie punktem przecięcia stycznych do \(\odot(ABC)\) w punktach \(B\) i \(C.\) Z faktu \(|\angle OBT|=|\angle OCT|=90^\circ\) wnioskujemy, że \(\odot(BCO)=\odot(OT)\) (rys. 1).
(1)\(\Leftrightarrow\)(2). Rzut prostokątny punktu \(O\) na prostą \(AT\) i drugi punkt wspólny okręgów \(\odot(AO)\) i \(\odot(OT)\) to ten sam punkt.
(1,2)\(\Rightarrow\)(3). Niech \(\gamma=|\angle BCA|\) i \(\varphi=|\angle BAY|.\) Najpierw zauważmy, że \(|\angle ABT|=180^\circ-\gamma.\) Stąd \(|\angle BCY|=|\angle BTY|= \gamma-\varphi,\) co daje \(|\angle ACY|=\varphi.\) Drugiej równości kątów dowodzimy analogicznie.
(3)\(\Rightarrow\)(1). Niech \(\varphi=|\angle BAY|=|\angle ACY|\) i \(\psi=|\angle CAY|=|\angle ABY|\) oraz \(\alpha=|\angle BAC|.\) Widzimy, że \(\varphi+\psi=\alpha,\) co daje \(|\angle BYC|=2\alpha=|\angle BOC|,\) więc punkt \(Y\) leży na \(\odot(BCO)=\odot(OT),\) co daje \(|\angle OYT|=90^\circ.\) Dalej zauważmy, że \(|\angle AYB|=180^\circ-\alpha\) oraz \(|\angle BYT|=|\angle BCT|=\alpha,\) więc punkty \(A,\) \(Y,\) \(T\) leżą na jednej prostej, co wobec \(OY\bot YT\) dowodzi (1).
(3)\(\Leftrightarrow\)(4) Równoważność wynika z obustronnego twierdzenia o stycznej i cięciwie (rys. 2).
Punkt \(Y,\) spełniający którąkolwiek (a zatem i wszystkie) spośród definicji (1)–(4), nazywamy punktem A-Dumpty trójkąta \(ABC.\) Będziemy go oznaczać \(D_A,\) analogicznie definiujemy punkty \(D_B\) i \(D_C.\) A na deser:
Twierdzenie 2. Punkty \(A\)-Humpty i \(A\)-Dumpty są izogonalnie sprzężone w trójkącie \(ABC\) (analogicznie \(H_B\) z \(D_B\) oraz \(H_C\) z \(D_C\)).
Dowód. Jako definicję punktu \(H_A\) przyjmijmy (3) z twierdzenia w poprzednim kąciku. Punkt \(Y\) izogonalnie sprzężony z \(H_A\) spełnia równości kątów (3) w twierdzeniu 1, w kąciku bieżącym. Ponieważ – w myśl tego samego twierdzenia – istnieje dokładnie jeden taki punkt, musi być \(Y=D_A.\)
Zadania
-
Udowodnić, że w trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkty \(D_A,\) \(D_B,\) \(D_C\) oraz \(O\) leżą na jednym okręgu.
Wskazówka Jest to okrąg o średnicy \(OL\); \(L\) jest punktem Lemoine’a (punktem przecięcia trzech symedian).
-
Symetralne odcinków \(AB\) i \(CA\) przecinają środkową \(AA_1\) trójkąta ostrokątnego \(ABC\) w punktach, odpowiednio, \(D\) i \(E.\) Proste \(BD\) i \(CE\) przecinają się w punkcie \(F.\) Wykazać, że punkty \(A,\) \(B_1,\) \(C_1\) i \(F\) leżą na jednym okręgu. (USAMO 2008)
Wskazówka Zachodzą równości: \(|\angle DBA|=|\angle DAB|=|\angle CAD_A|,\) więc punkt \(D_A\) leży na prostej \(BD.\) Analogicznie dowodzimy, że również na \(CE,\) a zatem \(F=D_A.\)
-
Niech \(P\) będzie dowolnym punktem na boku \(BC\) trójkąta \(ABC.\) Punkty \(M\) i \(N\) leżą, odpowiednio, na prostych \(AB\) i \(AC,\) przy czym \(PM\parallel AC\) i \(PN\parallel AB.\) Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie \(AMN\) przechodzi przez stały punkt różny od \(A,\) niezależnie od wyboru punktu \(P.\)
Wskazówka Starczy wykazać, że punkty \(A,\) \(M,\) \(N,\) \(D_A\) są współokręgowe. Z proporcji \(\frac{|BM|}{|AN|}=\frac{|BA|}{|AC|}=\frac{|BD_A|}{|AD_A|}\) i równości odpowiednich kątów wnioskujemy, że \(\triangle AND_A \sim \triangle BMD_A.\)
-
Dowieść, że w trójkącie ostrokątnym \(ABC\) o wysokości \(AA'\) prosta \(A'D_A\) przechodzi przez środek odcinka \(B_1C_1.\)
Wskazówka Niech \(M\) będzie środkiem odcinka \(B_1C_1.\) Rozważmy symetrię względem prostej \(B_1C_1\) – przeprowadza ona punkt \(A'\) w \(A\) oraz punkt \(M\) w siebie. Korzystając z tego, że punkty \(A,\) \(B_1,\) \(C_1,\) \(D_A\) leżą na jednym okręgu, można wykazać, że obraz punktu \(D_A\) w tej symetrii jest punktem \(A\)-Humpty trójkąta \(AB_1C_1.\)
-
Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny. Okręgi \(\odot(AO)\) i \(\odot(BCO)\) przecinają się w punkcie \(M,\) a okręgi \(\odot(AH)\) i \(\odot(BCH)\) – w punkcie \(N.\) Proste \(AM\) i \(AN\) przecinają po raz drugi, odpowiednio, \(\odot(BCO)\) w punkcie \(X\) i \(\odot(BCH)\) w punkcie \(Y.\) Udowodnić, że \(MN\parallel XY.\) (ELMO 2014)
Wskazówka Mamy tu \(M=D_A\) i \(N=H_A,\) z czego można wywnioskować, że \(\triangle AYC \sim \triangle ABM\) (kk), więc \(|AM|\cdot|AY|=|AB|\cdot|AC|.\) Analogicznie dowodzimy, że \(|AN|\cdot|AX|=|AB|\cdot|AC|.\)