Kontakt:
gornicki59@gmail.com
Obiekt uznamy za niewidzialny, jeśli każdy promień światła dociera do oka wzdłuż tej samej linii, po której biegł przed spotkaniem z obiektem. W poprzednim odcinku (\(\Delta^{10}_{26}\)) rozważaliśmy bryły stawiające zerowy opór; wśród nich niewidzialnymi (z jednego kierunku) są te z rysunków 10, 11, 13c, ale bryły z rysunków 9, 13a już nie. Zatem niewidzialność to własność silniejsza niż brak oporu!
Przypominamy niezwykłą własność optyczną paraboli. Promienie światła, wychodzące z ogniska paraboli i odbijające się od powierzchni paraboli (gdzie kąt padania jest równy kątowi odbicia), wędrują dalej jako wiązka równoległa do osi symetrii paraboli (rys. 1). Również na odwrót, wiązka promieni równoległych do osi symetrii paraboli, po odbiciu od „wewnętrznej strony” powierzchni paraboli, skupia się w jej ognisku.
Stworzymy teraz bryłę niewidzialną w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach. W tym celu rozważmy dowolną parabolę; odbijając ją symetrycznie względem ogniska, otrzymamy dwie parabole o wspólnym ognisku i wspólnej osi (rys. 1). Zaznaczone trójkąty krzywoliniowe przesuwamy prostopadle do płaszczyzny rysunku o długość odcinka \(AB.\) Otrzymujemy bryłę (rys. 2a, dwie symetryczne granie o podstawie kwadratowej) o zerowym oporze w kierunku północ-południe. Gdy obrócimy ją o \(90^{\circ},\) to otrzymamy bryłę (rys. 2b) o zerowym oporze w kierunku wschód-zachód. Część wspólna tych brył (rys. 2c), para krzywoliniowych piramid, ma zerowy opór w dwóch kierunkach równoległych do boków podstaw piramid. Teraz, aby uzyskać ciało niewidoczne w dwóch (wzajemnie prostopadłych) kierunkach, wystarczy poczwórnie zwiększyć tę strukturę (rys. 3) i pokryć ją powłoką lustrzaną.
Rys. 1
Rys. 3
Rys. 2
Rozwiązania te łatwo skrytykować. Stworzyliśmy powierzchnie niewidzialne dla równoległej wiązki światła, a nasz sposób widzenia jest bardziej skomplikowany, bo przecież mamy dwoje oczu. Jednym widzimy, gdy wszystkie promienie zbiegają się w punkcie – źrenicy oka. Zatem problem jest trochę inny – czy istnieją powierzchnie niewidzialne (dla nas) choćby z jednego punktu? Tak!
Przed ich stworzeniem przypomnimy niezwykłe własności optyczne pozostałych krzywych stożkowych – elipsy oraz hiperboli. Każdy promień światła wychodzący z jednego ogniska elipsy, po odbiciu od „wewnętrznej” powierzchni elipsy, przejdzie przez drugie ognisko. Innymi słowy, wszystkie promienie wychodzące z jednego ogniska elipsy skupią się w jej drugim ognisku (rys. 4). Tak samo będzie dla wewnętrznej powierzchni elipsoidy obrotowej, gdy osią obrotu jest prosta \(F_1F_2.\) Podobnie każdy promień światła wychodzący z jednego ogniska hiperboli po odbiciu od hiperboli przekształca się w promień, którego przedłużenie przechodzi przez drugie ognisko. W innym wypadku wszystkie promienie wychodzące z jednego ogniska hiperboli będą się rozchodzić z drugiego (rys. 5). Ta sama własność przysługuje bryle otrzymanej w wyniku obrotu hiperboli wokół prostej \(F_1F_2.\)
Na płaszczyźnie dane są dwa różne punkty \(F_1,\) \(F_2\) zwane ogniskami. Zbiór punktów płaszczyzny, których suma odległości od punktów \(F_1\) i \(F_2\) jest stała (i większa od odległości ognisk), nazywamy elipsą. Zbiór punktów płaszczyzny, których moduł różnicy odległości od punktów \(F_1\) i \(F_2\) jest stały (i mniejszy od odległości ognisk), nazywamy hiperbolą.
Rys. 4
Rys. 5
Skorzystamy jeszcze z następującego lematu:
Lemat. W trójkącie \(\triangle ABC\) \((\)rys. 6\()\) odcinek \(BD\) jest dwusieczną kąta \(\angle ABC\) wtedy i tylko wtedy, gdy \((a_1+b_1)(a_2-b_2)=f^2\).
Rys. 6
Dowód. Przywołajmy twierdzenie M. Stewarta (patrz margines), które mówi, że \[a_1^2 b_2 + a_2^2 b_1 = (b_1 + b_2)(f^2 + b_1b_2).\] Jeśli zachodzi równość z lematu, to we wzorze wyżej możemy podstawić \({f^2 = (a_1+b_1)(a_2-b_2)},\) co po pewnych przekształceniach daje \[(b_1 + b_2 + a_1 - a_2)(a_1 b_2 - a_2 b_1) = 0.\] Pierwszy czynnik wynosi \(AC + AB - BC,\) a więc jest dodatni na mocy nierówności trójkąta. Stąd wnioskujemy równość \(a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0\) lub inaczej \(a_1/b_1 = a_2/b_2,\) co z twierdzenia o dwusiecznej oznacza, że \(AD\) musi być dwusieczną.
Twierdzenie Stewarta (1746), zob. S.I. Zetel, Geometria trójkąta, Wyd. Aksjomat (2020).
Szkic dowodu: należy wyznaczyć \(a_1^2\) oraz \(a_2^2\) z twierdzenia cosinusów w trójkątach \(\triangle ABD\) oraz \(\triangle BDC,\) a następnie odpowiednio połączyć uzyskane równości.
W istocie rozumowanie to pokazuje również przeciwną implikację. Mianowicie, jeśli \(AD\) jest dwusieczną, to \(a_1/b_1 = a_2/b_2,\) co po powtórzeniu tych samych przekształceń algebraicznych (w odwrotnej kolejności) prowadzi nas do równości \(a_1^2 b_2 + a_2^2 b_1 = (b_1 + b_2)(g^2 + b_1b_2)\) spełnianej przez wielkość \(g^2 = (a_1+b_1)(a_2-b_2).\) W połączeniu z twierdzeniem Stewarta daje to \(f^2 = g^2,\) czyli równość z lematu. ◻
Rys. 7
Rys. 8
Tak przygotowani możemy przystąpić do konstrukcji rzeczywiście niewidzialnego dla nas obiektu, choć tylko z jednego punktu. Rysujemy współogniskowe elipsę i hiperbolę tak, aby odcinek \(HH'\) (łączący dwa punkty ich przecięcia) zawierał ognisko \(F_2\) (rys. 7) i był prostopadły do odcinka \(F_1F_2.\) Następnie z ogniska \(F_1\) prowadzimy półprostą przechodzącą powyżej punktu \(H,\) która przecina elipsę i hiperbolę w punktach \(A,\) \(B,\) odpowiednio. Odcinek \(F_1B\) odbijamy symetrycznie względem prostej łączącej ogniska \(F_1F_2\); odbity odcinek przecina teraz elipsę i hiperbolę odpowiednio w punktach \(A',\) \(B'.\) Otrzymujemy w ten sposób dwa symetrycznie położone krzywoliniowe trójkąty \(ABH\) oraz \(A'B'H'.\) Rozważmy teraz promień wychodzący z ogniska \(F_1\) i odbijający się od pary wskazanych trójkątów. Promień odbija się w punkcie \(C\) od łuku elipsy, przechodzi przez ognisko \(F_2,\) po czym odbija się od łuku hiperboli w punkcie \(D\) i biegnie dalej wzdłuż prostej \(F_1D.\) Popatrzmy na trójkąt \(\triangle F_1CD\) (rys. 7). Ponieważ \({F_1C+F_2C=F_1H+F_2H}\) (z określenia elipsy), \(F_1D-F_2D=F_1H-F_2H\) (z określenia hiperboli), więc \[\begin{aligned} (F_1C+F_2C)(F_1D-DF_2) & = (F_1H+F_2H)(F_1H-F_2H) \\ & = F_1H^2-F_2H^2=F_1F_2^2, \end{aligned}\] bo trójkąt \(\triangle F_1F_2H\) jest prostokątny. Zatem na podstawie lematu prosta \(F_1F_2\) jest dwusieczną kąta \(\angle CF_1D\) w trójkącie \(\triangle F_1CD.\) Gwarantuje to, że promień po odbiciu w punkcie \(D\) porusza się wzdłuż linii \(F_1 D,\) która jest symetryczna do linii \(F_1C\) względem prostej \(F_1F_2.\)
Jest tylko jeden problem: kierunek odbicia promienia w punkcie \(D\) nie pokrywa się z kierunkiem promienia, który wyszedł z punktu \(F_1.\) Aby temu zaradzić, wystarczy zaznaczone trójkąty krzywoliniowe przekształcić jednokładnie względem punktu \(F_1,\) jak pokazuje to rysunek 8. Wówczas promień \(F_1C\) po czterech odbiciach porusza się wzdłuż promienia \(GK,\) który jest przedłużeniem promienia \(F_1C.\) Zapewnia to niewidzialność punktu \(F_1.\) Oczywiście ruch promieni światła odbywa się w przeciwną stronę – promień porusza się w kierunku, w którym znajduje się oko (punkt \(F_1\)), dokonując czterech odbić od czterech krzywoliniowych trójkątów, by ostatecznie dotrzeć do oka wzdłuż tej samej prostej, po której początkowo się poruszał.
Rys. 9
Obracając powstałą konstrukcję wokół półprostej \(F_1F_2\) (rys. 9) i pokrywając ją powłoką lustrzaną, otrzymujemy powierzchnię, która jest niewidoczna, jeśli spojrzymy na nią jednym okiem z danego punktu \(F_1\) w przestrzeni. Obiekty ukryte w „szarej strefie” są niewidoczne. Istnieją też inne, bardziej złożone powierzchnie, które są niewidoczne, gdy patrzymy obojgiem oczu lub gdy obiekt ma być niewidoczny w skończonej liczbie kierunków.
I nie chodzi tu o półprzepuszczalne lustra (powierzchnie), iluzjonistyczne sztuczki, o ciemny strój w nocy, a o możliwości drzemiące w najstarszej gałęzi matematyki – w geometrii.
Problem jest trudny, bo załamywanie światła wynika z anatomii oka. Jednak niewidzialność jest możliwa! Może kiedyś powstanie materiał, który nam na to pozwoli…
Literatura
[1] D. Bucur, G. Buttazzo, Variational methods in shape optimization problems, Birkhäuser (2005).
[2] I. Newton, Matematyczne zasady filozofii przyrody, Copernicus Center Press (2011).
[3] A. Plakhov, Exterior billiards. Systems with impacts outside bounded domains, Springer Science & Business Media (2012).